Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4524 / 1832
↖ ↑ ↗
← N 82.972659°
W130.297852°		 ← 149.46 m → N 82.972659°
W130.286865°		 →
↑
149.46 m
↓
↑
149.46 m
↓
N 82.971315°
W130.297852°		 ← 149.49 m →
22 341 m²		 N 82.971315°
W130.286865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138076782226562 y=0.0559234619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138076782226562 × 215)
    floor (0.138076782226562 × 32768)
    floor (4524.5)     		tx = 4524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0559234619140625 × 215)
    floor (0.0559234619140625 × 32768)
    floor (1832.5)     		ty = 1832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4524 / 1832 ti = "15/4524/1832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4524/1832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4524 ÷ 215
    4524 ÷ 32768     		x = 0.1380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1832 ÷ 215
    1832 ÷ 32768     		y = 0.055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27412652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.055908203125 × 2 - 1) × π
    0.88818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.79031105308423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27412652} λ = -2.27412652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79031105308423))-π/2
    2×atan(16.2860848509209)-π/2
    2×1.50947120755055-π/2
    3.01894241510109-1.57079632675     		φ = 1.44814609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27412652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.297852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44814609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.972659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4524 KachelY 1832 -2.27412652 1.44814609 -130.297852 82.972659
    Oben rechts KachelX + 1 4525 KachelY 1832 -2.27393477 1.44814609 -130.286865 82.972659
    Unten links KachelX 4524 KachelY + 1 1833 -2.27412652 1.44812263 -130.297852 82.971315
    Unten rechts KachelX + 1 4525 KachelY + 1 1833 -2.27393477 1.44812263 -130.286865 82.971315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44814609-1.44812263) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dl = 149.463659999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44814609-1.44812263) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dr = 149.463659999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27412652--2.27393477) × cos(1.44814609) × R
    0.000191749999999935 × 0.122342961771461 × 6371000     		do = 149.458964061216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27412652--2.27393477) × cos(1.44812263) × R
    0.000191749999999935 × 0.122366245503548 × 6371000     		du = 149.48740838222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44814609)-sin(1.44812263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122342961771461-0.122366245503548)×R²
    abs(-2.27393477--2.27412652)×2.32837320872786e-05×R²
    0.000191749999999935×2.32837320872786e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.32837320872786e-05×40589641000000     		ar = 22340.809485759m²