Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4524 / 13078
↖ ↑ ↗
← S 72.541319°
W 80.595703°		 ← 733.01 m → S 72.541319°
W 80.573731°		 →
↑
732.86 m
↓
↑
732.86 m
↓
S 72.547910°
W 80.595703°		 ← 732.74 m →
537 091 m²		 S 72.547910°
W 80.573731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276153564453125 y=0.798248291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276153564453125 × 214)
    floor (0.276153564453125 × 16384)
    floor (4524.5)     		tx = 4524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798248291015625 × 214)
    floor (0.798248291015625 × 16384)
    floor (13078.5)     		ty = 13078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4524 / 13078 ti = "14/4524/13078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4524/13078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4524 ÷ 214
    4524 ÷ 16384     		x = 0.276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13078 ÷ 214
    13078 ÷ 16384     		y = 0.7982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40666038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87375753234875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40666038} λ = -1.40666038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87375753234875))-π/2
    2×atan(0.153545623848444)-π/2
    2×0.15235573381586-π/2
    0.30471146763172-1.57079632675     		φ = -1.26608486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40666038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26608486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.541319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4524 KachelY 13078 -1.40666038 -1.26608486 -80.595703 -72.541319
    Oben rechts KachelX + 1 4525 KachelY 13078 -1.40627689 -1.26608486 -80.573731 -72.541319
    Unten links KachelX 4524 KachelY + 1 13079 -1.40666038 -1.26619989 -80.595703 -72.547910
    Unten rechts KachelX + 1 4525 KachelY + 1 13079 -1.40627689 -1.26619989 -80.573731 -72.547910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26608486--1.26619989) × R
    0.000115029999999905 × 6371000     		dl = 732.856129999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26608486--1.26619989) × R
    0.000115029999999905 × 6371000     		dr = 732.856129999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40666038--1.40627689) × cos(-1.26608486) × R
    0.000383489999999931 × 0.300017946194763 × 6371000     		do = 733.008283408336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40666038--1.40627689) × cos(-1.26619989) × R
    0.000383489999999931 × 0.299908213232991 × 6371000     		du = 732.740182213186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26608486)-sin(-1.26619989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300017946194763-0.299908213232991)×R²
    abs(-1.40627689--1.40666038)×0.000109732961771136×R²
    0.000383489999999931×0.000109732961771136×6371000²
    0.000383489999999931×0.000109732961771136×40589641000000     		ar = 537091.374626413m²