Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4524 / 12907
↖ ↑ ↗
← S 71.378127°
W 80.595703°		 ← 780.17 m → S 71.378127°
W 80.573731°		 →
↑
780.07 m
↓
↑
780.07 m
↓
S 71.385142°
W 80.595703°		 ← 779.89 m →
608 473 m²		 S 71.385142°
W 80.573731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276153564453125 y=0.787811279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276153564453125 × 214)
    floor (0.276153564453125 × 16384)
    floor (4524.5)     		tx = 4524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787811279296875 × 214)
    floor (0.787811279296875 × 16384)
    floor (12907.5)     		ty = 12907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4524 / 12907 ti = "14/4524/12907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4524/12907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4524 ÷ 214
    4524 ÷ 16384     		x = 0.276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12907 ÷ 214
    12907 ÷ 16384     		y = 0.78778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40666038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40666038} λ = -1.40666038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80817985366852))-π/2
    2×atan(0.163952282531553)-π/2
    2×0.16250649814955-π/2
    0.3250129962991-1.57079632675     		φ = -1.24578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40666038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.378127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4524 KachelY 12907 -1.40666038 -1.24578333 -80.595703 -71.378127
    Oben rechts KachelX + 1 4525 KachelY 12907 -1.40627689 -1.24578333 -80.573731 -71.378127
    Unten links KachelX 4524 KachelY + 1 12908 -1.40666038 -1.24590577 -80.595703 -71.385142
    Unten rechts KachelX + 1 4525 KachelY + 1 12908 -1.40627689 -1.24590577 -80.573731 -71.385142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24578333--1.24590577) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dl = 780.065239999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24578333--1.24590577) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dr = 780.065239999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40666038--1.40627689) × cos(-1.24578333) × R
    0.000383489999999931 × 0.319321102252157 × 6371000     		do = 780.170039781432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40666038--1.40627689) × cos(-1.24590577) × R
    0.000383489999999931 × 0.31920507001208 × 6371000     		du = 779.886548096358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24578333)-sin(-1.24590577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319321102252157-0.31920507001208)×R²
    abs(-1.40627689--1.40666038)×0.000116032240077335×R²
    0.000383489999999931×0.000116032240077335×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116032240077335×40589641000000     		ar = 608472.959077125m²