Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45238 / 95320
↖ ↑ ↗
← S 63.025074°
W 55.750122°		 ← 138.54 m → S 63.025074°
W 55.747375°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
S 63.026320°
W 55.750122°		 ← 138.54 m →
19 188 m²		 S 63.026320°
W 55.747375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345142364501953 y=0.727237701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345142364501953 × 217)
    floor (0.345142364501953 × 131072)
    floor (45238.5)     		tx = 45238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727237701416016 × 217)
    floor (0.727237701416016 × 131072)
    floor (95320.5)     		ty = 95320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45238 / 95320 ti = "17/45238/95320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45238/95320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45238 ÷ 217
    45238 ÷ 131072     		x = 0.345138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95320 ÷ 217
    95320 ÷ 131072     		y = 0.72723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345138549804688 × 2 - 1) × π
    -0.309722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97302319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97302319} λ = -0.97302319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42775261828375))-π/2
    2×atan(0.239847345534851)-π/2
    2×0.235400635266548-π/2
    0.470801270533097-1.57079632675     		φ = -1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97302319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45238 KachelY 95320 -0.97302319 -1.09999506 -55.750122 -63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 45239 KachelY 95320 -0.97297525 -1.09999506 -55.747375 -63.025074
    Unten links KachelX 45238 KachelY + 1 95321 -0.97302319 -1.10001680 -55.750122 -63.026320
    Unten rechts KachelX + 1 45239 KachelY + 1 95321 -0.97297525 -1.10001680 -55.747375 -63.026320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09999506--1.10001680) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09999506--1.10001680) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97302319--0.97297525) × cos(-1.09999506) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 138.541275702554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97302319--0.97297525) × cos(-1.10001680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453581149077918 × 6371000     		du = 138.535358107403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09999506)-sin(-1.10001680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453581149077918)×R²
    abs(-0.97297525--0.97302319)×1.93749064838489e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93749064838489e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93749064838489e-05×40589641000000     		ar = 19188.3243944577m²