Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45238 / 94884
↖ ↑ ↗
← S 62.476801°
W 55.750122°		 ← 141.14 m → S 62.476801°
W 55.747375°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.478070°
W 55.750122°		 ← 141.13 m →
19 926 m²		 S 62.478070°
W 55.747375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345142364501953 y=0.723911285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345142364501953 × 217)
    floor (0.345142364501953 × 131072)
    floor (45238.5)     		tx = 45238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723911285400391 × 217)
    floor (0.723911285400391 × 131072)
    floor (94884.5)     		ty = 94884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45238 / 94884 ti = "17/45238/94884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45238/94884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45238 ÷ 217
    45238 ÷ 131072     		x = 0.345138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94884 ÷ 217
    94884 ÷ 131072     		y = 0.723907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345138549804688 × 2 - 1) × π
    -0.309722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97302319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.44781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40685213004941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97302319} λ = -0.97302319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40685213004941))-π/2
    2×atan(0.244913025346655)-π/2
    2×0.240185221507088-π/2
    0.480370443014176-1.57079632675     		φ = -1.09042588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97302319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09042588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.476801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45238 KachelY 94884 -0.97302319 -1.09042588 -55.750122 -62.476801
    Oben rechts KachelX + 1 45239 KachelY 94884 -0.97297525 -1.09042588 -55.747375 -62.476801
    Unten links KachelX 45238 KachelY + 1 94885 -0.97302319 -1.09044804 -55.750122 -62.478070
    Unten rechts KachelX + 1 45239 KachelY + 1 94885 -0.97297525 -1.09044804 -55.747375 -62.478070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09042588--1.09044804) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dl = 141.181360000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09042588--1.09044804) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dr = 141.181360000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97302319--0.97297525) × cos(-1.09042588) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462107728275032 × 6371000     		do = 141.139594868355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97302319--0.97297525) × cos(-1.09044804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462088076146222 × 6371000     		du = 141.133592602371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09042588)-sin(-1.09044804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462107728275032-0.462088076146222)×R²
    abs(-0.97297525--0.97302319)×1.96521288093887e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96521288093887e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96521288093887e-05×40589641000000     		ar = 19925.8562502199m²