Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45235 / 95315
↖ ↑ ↗
← S 63.018844°
W 55.758362°		 ← 138.57 m → S 63.018844°
W 55.755615°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.020090°
W 55.758362°		 ← 138.56 m →
19 201 m²		 S 63.020090°
W 55.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345119476318359 y=0.727199554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345119476318359 × 217)
    floor (0.345119476318359 × 131072)
    floor (45235.5)     		tx = 45235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727199554443359 × 217)
    floor (0.727199554443359 × 131072)
    floor (95315.5)     		ty = 95315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45235 / 95315 ti = "17/45235/95315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45235/95315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45235 ÷ 217
    45235 ÷ 131072     		x = 0.345115661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95315 ÷ 217
    95315 ÷ 131072     		y = 0.727195739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345115661621094 × 2 - 1) × π
    -0.309768676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97316700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727195739746094 × 2 - 1) × π
    -0.454391479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42751293378565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97316700} λ = -0.97316700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42751293378565))-π/2
    2×atan(0.239904840115491)-π/2
    2×0.23545500158014-π/2
    0.470910003160279-1.57079632675     		φ = -1.09988632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97316700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.758362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09988632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.018844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45235 KachelY 95315 -0.97316700 -1.09988632 -55.758362 -63.018844
    Oben rechts KachelX + 1 45236 KachelY 95315 -0.97311906 -1.09988632 -55.755615 -63.018844
    Unten links KachelX 45235 KachelY + 1 95316 -0.97316700 -1.09990807 -55.758362 -63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 45236 KachelY + 1 95316 -0.97311906 -1.09990807 -55.755615 -63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09988632--1.09990807) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09988632--1.09990807) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97316700--0.97311906) × cos(-1.09988632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453697430947107 × 6371000     		do = 138.570873583028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97316700--0.97311906) × cos(-1.09990807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 138.564953593569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09988632)-sin(-1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453697430947107-0.453678048201374)×R²
    abs(-0.97311906--0.97316700)×1.93827457335427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93827457335427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93827457335427e-05×40589641000000     		ar = 19201.2518607134m²