Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45235 / 94886
↖ ↑ ↗
← S 62.479340°
W 55.758362°		 ← 141.13 m → S 62.479340°
W 55.755615°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
S 62.480609°
W 55.758362°		 ← 141.12 m →
19 915 m²		 S 62.480609°
W 55.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345119476318359 y=0.723926544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345119476318359 × 217)
    floor (0.345119476318359 × 131072)
    floor (45235.5)     		tx = 45235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723926544189453 × 217)
    floor (0.723926544189453 × 131072)
    floor (94886.5)     		ty = 94886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45235 / 94886 ti = "17/45235/94886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45235/94886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45235 ÷ 217
    45235 ÷ 131072     		x = 0.345115661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94886 ÷ 217
    94886 ÷ 131072     		y = 0.723922729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345115661621094 × 2 - 1) × π
    -0.309768676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97316700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723922729492188 × 2 - 1) × π
    -0.447845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40694800384865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97316700} λ = -0.97316700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40694800384865))-π/2
    2×atan(0.244889545729989)-π/2
    2×0.240163070437162-π/2
    0.480326140874324-1.57079632675     		φ = -1.09047019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97316700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.758362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09047019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.479340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45235 KachelY 94886 -0.97316700 -1.09047019 -55.758362 -62.479340
    Oben rechts KachelX + 1 45236 KachelY 94886 -0.97311906 -1.09047019 -55.755615 -62.479340
    Unten links KachelX 45235 KachelY + 1 94887 -0.97316700 -1.09049234 -55.758362 -62.480609
    Unten rechts KachelX + 1 45236 KachelY + 1 94887 -0.97311906 -1.09049234 -55.755615 -62.480609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09047019--1.09049234) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09047019--1.09049234) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97316700--0.97311906) × cos(-1.09047019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46206843265894 × 6371000     		do = 141.127592975404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97316700--0.97311906) × cos(-1.09049234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462048788944957 × 6371000     		du = 141.121593279525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09047019)-sin(-1.09049234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46206843265894-0.462048788944957)×R²
    abs(-0.97311906--0.97316700)×1.9643713983275e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9643713983275e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9643713983275e-05×40589641000000     		ar = 19915.1709399604m²