Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4523 / 4916
↖ ↑ ↗
← S 33.870416°
E 18.764649°		 ← 4 057.26 m → S 33.870416°
E 18.808594°		 →
↑
4 056.42 m
↓
↑
4 056.42 m
↓
S 33.906896°
E 18.764649°		 ← 4 055.52 m →
16 454 400 m²		 S 33.906896°
E 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55218505859375 y=0.60015869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55218505859375 × 213)
    floor (0.55218505859375 × 8192)
    floor (4523.5)     		tx = 4523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60015869140625 × 213)
    floor (0.60015869140625 × 8192)
    floor (4916.5)     		ty = 4916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4523 / 4916 ti = "13/4523/4916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4523/4916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4523 ÷ 213
    4523 ÷ 8192     		x = 0.5521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4916 ÷ 213
    4916 ÷ 8192     		y = 0.60009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32750490} λ = 0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628932123015137))-π/2
    2×atan(0.533160847315171)-π/2
    2×0.489823028213599-π/2
    0.979646056427198-1.57079632675     		φ = -0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4523 KachelY 4916 0.32750490 -0.59115027 18.764649 -33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 4524 KachelY 4916 0.32827189 -0.59115027 18.808594 -33.870416
    Unten links KachelX 4523 KachelY + 1 4917 0.32750490 -0.59178697 18.764649 -33.906896
    Unten rechts KachelX + 1 4524 KachelY + 1 4917 0.32827189 -0.59178697 18.808594 -33.906896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59115027--0.59178697) × R
    0.000636700000000046 × 6371000     		dl = 4056.41570000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59115027--0.59178697) × R
    0.000636700000000046 × 6371000     		dr = 4056.41570000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32750490-0.32827189) × cos(-0.59115027) × R
    0.000766990000000023 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 4057.25618070708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32750490-0.32827189) × cos(-0.59178697) × R
    0.000766990000000023 × 0.829945152466969 × 6371000     		du = 4055.52141859799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59115027)-sin(-0.59178697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.829945152466969)×R²
    abs(0.32827189-0.32750490)×0.000355011662992788×R²
    0.000766990000000023×0.000355011662992788×6371000²
    0.000766990000000023×0.000355011662992788×40589641000000     		ar = 16454399.7680815m²