Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4523 / 1831
↖ ↑ ↗
← N 82.974003°
W130.308838°		 ← 149.43 m → N 82.974003°
W130.297852°		 →
↑
149.46 m
↓
↑
149.46 m
↓
N 82.972659°
W130.308838°		 ← 149.46 m →
22 337 m²		 N 82.972659°
W130.297852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138046264648438 y=0.0558929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138046264648438 × 215)
    floor (0.138046264648438 × 32768)
    floor (4523.5)     		tx = 4523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0558929443359375 × 215)
    floor (0.0558929443359375 × 32768)
    floor (1831.5)     		ty = 1831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4523 / 1831 ti = "15/4523/1831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4523/1831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4523 ÷ 215
    4523 ÷ 32768     		x = 0.138031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1831 ÷ 215
    1831 ÷ 32768     		y = 0.055877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.72393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27431827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.055877685546875 × 2 - 1) × π
    0.88824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.79050280068271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27431827} λ = -2.27431827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79050280068271))-π/2
    2×atan(16.2892079679952)-π/2
    2×1.50948293591923-π/2
    3.01896587183846-1.57079632675     		φ = 1.44816955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27431827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.308838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44816955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.974003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4523 KachelY 1831 -2.27431827 1.44816955 -130.308838 82.974003
    Oben rechts KachelX + 1 4524 KachelY 1831 -2.27412652 1.44816955 -130.297852 82.974003
    Unten links KachelX 4523 KachelY + 1 1832 -2.27431827 1.44814609 -130.308838 82.972659
    Unten rechts KachelX + 1 4524 KachelY + 1 1832 -2.27412652 1.44814609 -130.297852 82.972659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44816955-1.44814609) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dl = 149.463659999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44816955-1.44814609) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dr = 149.463659999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27431827--2.27412652) × cos(1.44816955) × R
    0.000191750000000379 × 0.12231967797204 × 6371000     		do = 149.4305196583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27431827--2.27412652) × cos(1.44814609) × R
    0.000191750000000379 × 0.122342961771461 × 6371000     		du = 149.458964061562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44816955)-sin(1.44814609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12231967797204-0.122342961771461)×R²
    abs(-2.27412652--2.27431827)×2.32837994213753e-05×R²
    0.000191750000000379×2.32837994213753e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.32837994213753e-05×40589641000000     		ar = 22336.5580871686m²