Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45223 / 95311
↖ ↑ ↗
← S 63.013859°
W 55.791321°		 ← 138.57 m → S 63.013859°
W 55.788575°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.015106°
W 55.791321°		 ← 138.56 m →
19 201 m²		 S 63.015106°
W 55.788575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345027923583984 y=0.727169036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345027923583984 × 217)
    floor (0.345027923583984 × 131072)
    floor (45223.5)     		tx = 45223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727169036865234 × 217)
    floor (0.727169036865234 × 131072)
    floor (95311.5)     		ty = 95311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45223 / 95311 ti = "17/45223/95311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45223/95311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45223 ÷ 217
    45223 ÷ 131072     		x = 0.345024108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95311 ÷ 217
    95311 ÷ 131072     		y = 0.727165222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345024108886719 × 2 - 1) × π
    -0.309951782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.97374224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727165222167969 × 2 - 1) × π
    -0.454330444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42732118618717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97374224} λ = -0.97374224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42732118618717))-π/2
    2×atan(0.239950845703036)-π/2
    2×0.235498502992774-π/2
    0.470997005985548-1.57079632675     		φ = -1.09979932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97374224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.791321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09979932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.013859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45223 KachelY 95311 -0.97374224 -1.09979932 -55.791321 -63.013859
    Oben rechts KachelX + 1 45224 KachelY 95311 -0.97369431 -1.09979932 -55.788575 -63.013859
    Unten links KachelX 45223 KachelY + 1 95312 -0.97374224 -1.09982107 -55.791321 -63.015106
    Unten rechts KachelX + 1 45224 KachelY + 1 95312 -0.97369431 -1.09982107 -55.788575 -63.015106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09979932--1.09982107) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09979932--1.09982107) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97374224--0.97369431) × cos(-1.09979932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453774959783678 × 6371000     		do = 138.565642882797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97374224--0.97369431) × cos(-1.09982107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453755577896508 × 6371000     		du = 138.559724390386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09979932)-sin(-1.09982107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453774959783678-0.453755577896508)×R²
    abs(-0.97369431--0.97374224)×1.93818871696005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93818871696005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93818871696005e-05×40589641000000     		ar = 19200.5271503103m²