Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4522 / 13074
↖ ↑ ↗
← S 72.514931°
W 80.639648°		 ← 734.08 m → S 72.514931°
W 80.617676°		 →
↑
733.94 m
↓
↑
733.94 m
↓
S 72.521531°
W 80.639648°		 ← 733.81 m →
538 673 m²		 S 72.521531°
W 80.617676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276031494140625 y=0.798004150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276031494140625 × 214)
    floor (0.276031494140625 × 16384)
    floor (4522.5)     		tx = 4522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798004150390625 × 214)
    floor (0.798004150390625 × 16384)
    floor (13074.5)     		ty = 13074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4522 / 13074 ti = "14/4522/13074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4522/13074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4522 ÷ 214
    4522 ÷ 16384     		x = 0.2760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13074 ÷ 214
    13074 ÷ 16384     		y = 0.7979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40742737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87222355156091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40742737} λ = -1.40742737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87222355156091))-π/2
    2×atan(0.153781340631771)-π/2
    2×0.152586013135662-π/2
    0.305172026271324-1.57079632675     		φ = -1.26562430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40742737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26562430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.514931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4522 KachelY 13074 -1.40742737 -1.26562430 -80.639648 -72.514931
    Oben rechts KachelX + 1 4523 KachelY 13074 -1.40704388 -1.26562430 -80.617676 -72.514931
    Unten links KachelX 4522 KachelY + 1 13075 -1.40742737 -1.26573950 -80.639648 -72.521531
    Unten rechts KachelX + 1 4523 KachelY + 1 13075 -1.40704388 -1.26573950 -80.617676 -72.521531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26562430--1.26573950) × R
    0.000115199999999982 × 6371000     		dl = 733.939199999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26562430--1.26573950) × R
    0.000115199999999982 × 6371000     		dr = 733.939199999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40742737--1.40704388) × cos(-1.26562430) × R
    0.000383489999999931 × 0.300457257999204 × 6371000     		do = 734.081616506368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40742737--1.40704388) × cos(-1.26573950) × R
    0.000383489999999931 × 0.300347378789503 × 6371000     		du = 733.813157996113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26562430)-sin(-1.26573950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300457257999204-0.300347378789503)×R²
    abs(-1.40704388--1.40742737)×0.000109879209700958×R²
    0.000383489999999931×0.000109879209700958×6371000²
    0.000383489999999931×0.000109879209700958×40589641000000     		ar = 538672.758838265m²