Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45218 / 95262
↖ ↑ ↗
← S 62.952725°
W 55.805054°		 ← 138.88 m → S 62.952725°
W 55.802307°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.953974°
W 55.805054°		 ← 138.88 m →
19 289 m²		 S 62.953974°
W 55.802307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344989776611328 y=0.726795196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344989776611328 × 217)
    floor (0.344989776611328 × 131072)
    floor (45218.5)     		tx = 45218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726795196533203 × 217)
    floor (0.726795196533203 × 131072)
    floor (95262.5)     		ty = 95262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45218 / 95262 ti = "17/45218/95262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45218/95262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45218 ÷ 217
    45218 ÷ 131072     		x = 0.344985961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95262 ÷ 217
    95262 ÷ 131072     		y = 0.726791381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344985961914062 × 2 - 1) × π
    -0.310028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97398193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726791381835938 × 2 - 1) × π
    -0.453582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42497227810579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97398193} λ = -0.97398193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42497227810579))-π/2
    2×atan(0.240515130650933)-π/2
    2×0.236031998874693-π/2
    0.472063997749386-1.57079632675     		φ = -1.09873233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97398193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.805054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09873233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.952725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45218 KachelY 95262 -0.97398193 -1.09873233 -55.805054 -62.952725
    Oben rechts KachelX + 1 45219 KachelY 95262 -0.97393399 -1.09873233 -55.802307 -62.952725
    Unten links KachelX 45218 KachelY + 1 95263 -0.97398193 -1.09875413 -55.805054 -62.953974
    Unten rechts KachelX + 1 45219 KachelY + 1 95263 -0.97393399 -1.09875413 -55.802307 -62.953974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09873233--1.09875413) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09873233--1.09875413) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97398193--0.97393399) × cos(-1.09873233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454725513495584 × 6371000     		do = 138.884876456178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97398193--0.97393399) × cos(-1.09875413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454706097617914 × 6371000     		du = 138.878946347372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09873233)-sin(-1.09875413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454725513495584-0.454706097617914)×R²
    abs(-0.97393399--0.97398193)×1.94158776703479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94158776703479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94158776703479e-05×40589641000000     		ar = 19289.0031351506m²