Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45216 / 94802
↖ ↑ ↗
← S 62.372544°
W 55.810547°		 ← 141.63 m → S 62.372544°
W 55.807800°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.373817°
W 55.810547°		 ← 141.63 m →
20 059 m²		 S 62.373817°
W 55.807800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344974517822266 y=0.723285675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344974517822266 × 217)
    floor (0.344974517822266 × 131072)
    floor (45216.5)     		tx = 45216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723285675048828 × 217)
    floor (0.723285675048828 × 131072)
    floor (94802.5)     		ty = 94802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45216 / 94802 ti = "17/45216/94802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45216/94802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45216 ÷ 217
    45216 ÷ 131072     		x = 0.344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94802 ÷ 217
    94802 ÷ 131072     		y = 0.723281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.31005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97407780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723281860351562 × 2 - 1) × π
    -0.446563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40292130428056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97407780} λ = -0.97407780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40292130428056))-π/2
    2×atan(0.245877630382939)-π/2
    2×0.241095038349484-π/2
    0.482190076698968-1.57079632675     		φ = -1.08860625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97407780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08860625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.372544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45216 KachelY 94802 -0.97407780 -1.08860625 -55.810547 -62.372544
    Oben rechts KachelX + 1 45217 KachelY 94802 -0.97402986 -1.08860625 -55.807800 -62.372544
    Unten links KachelX 45216 KachelY + 1 94803 -0.97407780 -1.08862848 -55.810547 -62.373817
    Unten rechts KachelX + 1 45217 KachelY + 1 94803 -0.97402986 -1.08862848 -55.807800 -62.373817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08860625--1.08862848) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08860625--1.08862848) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97407780--0.97402986) × cos(-1.08860625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463720653539364 × 6371000     		do = 141.632223760451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97407780--0.97402986) × cos(-1.08862848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463700958056831 × 6371000     		du = 141.626208253124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08860625)-sin(-1.08862848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463720653539364-0.463700958056831)×R²
    abs(-0.97402986--0.97407780)×1.96954825337214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96954825337214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96954825337214e-05×40589641000000     		ar = 20058.5677138098m²