Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45215 / 95319
↖ ↑ ↗
← S 63.023828°
W 55.813294°		 ← 138.55 m → S 63.023828°
W 55.810547°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.025074°
W 55.813294°		 ← 138.54 m →
19 198 m²		 S 63.025074°
W 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344966888427734 y=0.727230072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344966888427734 × 217)
    floor (0.344966888427734 × 131072)
    floor (45215.5)     		tx = 45215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727230072021484 × 217)
    floor (0.727230072021484 × 131072)
    floor (95319.5)     		ty = 95319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45215 / 95319 ti = "17/45215/95319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45215/95319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45215 ÷ 217
    45215 ÷ 131072     		x = 0.344963073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95319 ÷ 217
    95319 ÷ 131072     		y = 0.727226257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344963073730469 × 2 - 1) × π
    -0.310073852539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97412574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727226257324219 × 2 - 1) × π
    -0.454452514648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42770468138413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97412574} λ = -0.97412574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42770468138413))-π/2
    2×atan(0.239858843348561)-π/2
    2×0.235411507600261-π/2
    0.470823015200521-1.57079632675     		φ = -1.09997331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97412574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.813294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09997331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.023828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45215 KachelY 95319 -0.97412574 -1.09997331 -55.813294 -63.023828
    Oben rechts KachelX + 1 45216 KachelY 95319 -0.97407780 -1.09997331 -55.810547 -63.023828
    Unten links KachelX 45215 KachelY + 1 95320 -0.97412574 -1.09999506 -55.813294 -63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 45216 KachelY + 1 95320 -0.97407780 -1.09999506 -55.810547 -63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09997331--1.09999506) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09997331--1.09999506) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97412574--0.97407780) × cos(-1.09997331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453619907588454 × 6371000     		do = 138.547195953844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97412574--0.97407780) × cos(-1.09999506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 138.541275702233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09997331)-sin(-1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453619907588454-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.97407780--0.97412574)×1.93836040521811e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93836040521811e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93836040521811e-05×40589641000000     		ar = 19197.9708511099m²