Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45215 / 94805
↖ ↑ ↗
← S 62.376364°
W 55.813294°		 ← 141.61 m → S 62.376364°
W 55.810547°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.377638°
W 55.813294°		 ← 141.61 m →
20 056 m²		 S 62.377638°
W 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344966888427734 y=0.723308563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344966888427734 × 217)
    floor (0.344966888427734 × 131072)
    floor (45215.5)     		tx = 45215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723308563232422 × 217)
    floor (0.723308563232422 × 131072)
    floor (94805.5)     		ty = 94805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45215 / 94805 ti = "17/45215/94805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45215/94805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45215 ÷ 217
    45215 ÷ 131072     		x = 0.344963073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94805 ÷ 217
    94805 ÷ 131072     		y = 0.723304748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344963073730469 × 2 - 1) × π
    -0.310073852539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97412574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723304748535156 × 2 - 1) × π
    -0.446609497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40306511497942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97412574} λ = -0.97412574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40306511497942))-π/2
    2×atan(0.245842273091519)-π/2
    2×0.241061696478033-π/2
    0.482123392956067-1.57079632675     		φ = -1.08867293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97412574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.813294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08867293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.376364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45215 KachelY 94805 -0.97412574 -1.08867293 -55.813294 -62.376364
    Oben rechts KachelX + 1 45216 KachelY 94805 -0.97407780 -1.08867293 -55.810547 -62.376364
    Unten links KachelX 45215 KachelY + 1 94806 -0.97412574 -1.08869516 -55.813294 -62.377638
    Unten rechts KachelX + 1 45216 KachelY + 1 94806 -0.97407780 -1.08869516 -55.810547 -62.377638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08867293--1.08869516) × R
    2.2230000000123e-05 × 6371000     		dl = 141.627330000784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08867293--1.08869516) × R
    2.2230000000123e-05 × 6371000     		dr = 141.627330000784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97412574--0.97407780) × cos(-1.08867293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463661575264451 × 6371000     		do = 141.614179734618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97412574--0.97407780) × cos(-1.08869516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463641879094604 × 6371000     		du = 141.608164017367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08867293)-sin(-1.08869516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463661575264451-0.463641879094604)×R²
    abs(-0.97407780--0.97412574)×1.96961698470388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96961698470388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96961698470388e-05×40589641000000     		ar = 20056.0121719864m²