Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45214 / 95316
↖ ↑ ↗
← S 63.020090°
W 55.816040°		 ← 138.54 m → S 63.020090°
W 55.813294°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.021336°
W 55.816040°		 ← 138.53 m →
19 196 m²		 S 63.021336°
W 55.813294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344959259033203 y=0.727207183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344959259033203 × 217)
    floor (0.344959259033203 × 131072)
    floor (45214.5)     		tx = 45214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727207183837891 × 217)
    floor (0.727207183837891 × 131072)
    floor (95316.5)     		ty = 95316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45214 / 95316 ti = "17/45214/95316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45214/95316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45214 ÷ 217
    45214 ÷ 131072     		x = 0.344955444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95316 ÷ 217
    95316 ÷ 131072     		y = 0.727203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344955444335938 × 2 - 1) × π
    -0.310089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97417367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.45440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97417367} λ = -0.97417367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42756087068527))-π/2
    2×atan(0.239893340096892)-π/2
    2×0.235444127388386-π/2
    0.470888254776772-1.57079632675     		φ = -1.09990807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97417367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09990807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.020090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45214 KachelY 95316 -0.97417367 -1.09990807 -55.816040 -63.020090
    Oben rechts KachelX + 1 45215 KachelY 95316 -0.97412574 -1.09990807 -55.813294 -63.020090
    Unten links KachelX 45214 KachelY + 1 95317 -0.97417367 -1.09992982 -55.816040 -63.021336
    Unten rechts KachelX + 1 45215 KachelY + 1 95317 -0.97412574 -1.09992982 -55.813294 -63.021336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09990807--1.09992982) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dl = 138.569250000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09990807--1.09992982) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dr = 138.569250000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97417367--0.97412574) × cos(-1.09990807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		do = 138.536049765294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97417367--0.97412574) × cos(-1.09992982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453658665241022 × 6371000     		du = 138.530130945174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09990807)-sin(-1.09992982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453678048201374-0.453658665241022)×R²
    abs(-0.97412574--0.97417367)×1.93829603518658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93829603518658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93829603518658e-05×40589641000000     		ar = 19196.426431538m²