Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45211 / 95318
↖ ↑ ↗
← S 63.022583°
W 55.824280°		 ← 138.52 m → S 63.022583°
W 55.821533°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
S 63.023828°
W 55.824280°		 ← 138.52 m →
19 186 m²		 S 63.023828°
W 55.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344936370849609 y=0.727222442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344936370849609 × 217)
    floor (0.344936370849609 × 131072)
    floor (45211.5)     		tx = 45211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727222442626953 × 217)
    floor (0.727222442626953 × 131072)
    floor (95318.5)     		ty = 95318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45211 / 95318 ti = "17/45211/95318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45211/95318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45211 ÷ 217
    45211 ÷ 131072     		x = 0.344932556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95318 ÷ 217
    95318 ÷ 131072     		y = 0.727218627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344932556152344 × 2 - 1) × π
    -0.310134887695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.97431748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.454437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42765674448451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97431748} λ = -0.97431748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42765674448451))-π/2
    2×atan(0.239870341713453)-π/2
    2×0.235422380398461-π/2
    0.470844760796922-1.57079632675     		φ = -1.09995157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97431748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.824280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09995157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.022583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45211 KachelY 95318 -0.97431748 -1.09995157 -55.824280 -63.022583
    Oben rechts KachelX + 1 45212 KachelY 95318 -0.97426955 -1.09995157 -55.821533 -63.022583
    Unten links KachelX 45211 KachelY + 1 95319 -0.97431748 -1.09997331 -55.824280 -63.023828
    Unten rechts KachelX + 1 45212 KachelY + 1 95319 -0.97426955 -1.09997331 -55.821533 -63.023828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09995157--1.09997331) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09995157--1.09997331) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97431748--0.97426955) × cos(-1.09995157) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453639282066061 × 6371000     		do = 138.524212059199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97431748--0.97426955) × cos(-1.09997331) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453619907588454 × 6371000     		du = 138.518295829387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09995157)-sin(-1.09997331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453639282066061-0.453619907588454)×R²
    abs(-0.97426955--0.97431748)×1.93744776077476e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.93744776077476e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.93744776077476e-05×40589641000000     		ar = 19185.9610797992m²