Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4521 / 4741
↖ ↑ ↗
← S 27.254629°
E 18.676758°		 ← 4 344 m → S 27.254629°
E 18.720703°		 →
↑
4 343.24 m
↓
↑
4 343.24 m
↓
S 27.293689°
E 18.676758°		 ← 4 342.47 m →
18 863 693 m²		 S 27.293689°
E 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55194091796875 y=0.57879638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55194091796875 × 213)
    floor (0.55194091796875 × 8192)
    floor (4521.5)     		tx = 4521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57879638671875 × 213)
    floor (0.57879638671875 × 8192)
    floor (4741.5)     		ty = 4741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4521 / 4741 ti = "13/4521/4741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4521/4741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4521 ÷ 213
    4521 ÷ 8192     		x = 0.5518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4741 ÷ 213
    4741 ÷ 8192     		y = 0.5787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5518798828125 × 2 - 1) × π
    0.103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32597092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.494708804078979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32597092} λ = 0.32597092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494708804078979))-π/2
    2×atan(0.609748437704898)-π/2
    2×0.547556652131712-π/2
    1.09511330426342-1.57079632675     		φ = -0.47568302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32597092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.676758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47568302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.254629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4521 KachelY 4741 0.32597092 -0.47568302 18.676758 -27.254629
    Oben rechts KachelX + 1 4522 KachelY 4741 0.32673791 -0.47568302 18.720703 -27.254629
    Unten links KachelX 4521 KachelY + 1 4742 0.32597092 -0.47636474 18.676758 -27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 4522 KachelY + 1 4742 0.32673791 -0.47636474 18.720703 -27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47568302--0.47636474) × R
    0.000681719999999997 × 6371000     		dl = 4343.23811999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47568302--0.47636474) × R
    0.000681719999999997 × 6371000     		dr = 4343.23811999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32597092-0.32673791) × cos(-0.47568302) × R
    0.000766990000000023 × 0.888980142906488 × 6371000     		do = 4343.99550325592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32597092-0.32673791) × cos(-0.47636474) × R
    0.000766990000000023 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 4342.4689758358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47568302)-sin(-0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888980142906488-0.888667745584006)×R²
    abs(0.32673791-0.32597092)×0.000312397322482116×R²
    0.000766990000000023×0.000312397322482116×6371000²
    0.000766990000000023×0.000312397322482116×40589641000000     		ar = 18863692.5573712m²