Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45209 / 95256
↖ ↑ ↗
← S 62.945230°
W 55.829773°		 ← 138.92 m → S 62.945230°
W 55.827026°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.946480°
W 55.829773°		 ← 138.91 m →
19 303 m²		 S 62.946480°
W 55.827026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344921112060547 y=0.726749420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344921112060547 × 217)
    floor (0.344921112060547 × 131072)
    floor (45209.5)     		tx = 45209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726749420166016 × 217)
    floor (0.726749420166016 × 131072)
    floor (95256.5)     		ty = 95256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45209 / 95256 ti = "17/45209/95256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45209/95256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45209 ÷ 217
    45209 ÷ 131072     		x = 0.344917297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95256 ÷ 217
    95256 ÷ 131072     		y = 0.72674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344917297363281 × 2 - 1) × π
    -0.310165405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97441336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97441336} λ = -0.97441336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42468465670807))-π/2
    2×atan(0.240584317898373)-π/2
    2×0.236097401645098-π/2
    0.472194803290195-1.57079632675     		φ = -1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97441336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.829773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45209 KachelY 95256 -0.97441336 -1.09860152 -55.829773 -62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 45210 KachelY 95256 -0.97436542 -1.09860152 -55.827026 -62.945230
    Unten links KachelX 45209 KachelY + 1 95257 -0.97441336 -1.09862333 -55.829773 -62.946480
    Unten rechts KachelX + 1 45210 KachelY + 1 95257 -0.97436542 -1.09862333 -55.827026 -62.946480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09860152--1.09862333) × R
    2.18099999997889e-05 × 6371000     		dl = 138.951509998655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09860152--1.09862333) × R
    2.18099999997889e-05 × 6371000     		dr = 138.951509998655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97441336--0.97436542) × cos(-1.09860152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 138.92045844287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97441336--0.97436542) × cos(-1.09862333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454822589642195 × 6371000     		du = 138.914526010093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09860152)-sin(-1.09862333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454822589642195)×R²
    abs(-0.97436542--0.97441336)×1.94234866305876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94234866305876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94234866305876e-05×40589641000000     		ar = 19302.7953109258m²