Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45207 / 94807
↖ ↑ ↗
← S 62.378911°
W 55.835266°		 ← 141.57 m → S 62.378911°
W 55.832520°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.380185°
W 55.835266°		 ← 141.57 m →
20 050 m²		 S 62.380185°
W 55.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344905853271484 y=0.723323822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344905853271484 × 217)
    floor (0.344905853271484 × 131072)
    floor (45207.5)     		tx = 45207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723323822021484 × 217)
    floor (0.723323822021484 × 131072)
    floor (94807.5)     		ty = 94807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45207 / 94807 ti = "17/45207/94807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45207/94807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45207 ÷ 217
    45207 ÷ 131072     		x = 0.344902038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94807 ÷ 217
    94807 ÷ 131072     		y = 0.723320007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344902038574219 × 2 - 1) × π
    -0.310195922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.97450923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723320007324219 × 2 - 1) × π
    -0.446640014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.40316098877866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97450923} λ = -0.97450923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40316098877866))-π/2
    2×atan(0.245818704388612)-π/2
    2×0.241039470923805-π/2
    0.48207894184761-1.57079632675     		φ = -1.08871738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97450923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.835266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08871738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.378911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45207 KachelY 94807 -0.97450923 -1.08871738 -55.835266 -62.378911
    Oben rechts KachelX + 1 45208 KachelY 94807 -0.97446130 -1.08871738 -55.832520 -62.378911
    Unten links KachelX 45207 KachelY + 1 94808 -0.97450923 -1.08873961 -55.835266 -62.380185
    Unten rechts KachelX + 1 45208 KachelY + 1 94808 -0.97446130 -1.08873961 -55.832520 -62.380185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08871738--1.08873961) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08871738--1.08873961) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97450923--0.97446130) × cos(-1.08871738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463622191555968 × 6371000     		do = 141.572613566666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97450923--0.97446130) × cos(-1.08873961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463602494927995 × 6371000     		du = 141.566598964364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08871738)-sin(-1.08873961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463622191555968-0.463602494927995)×R²
    abs(-0.97446130--0.97450923)×1.96966279725763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96966279725763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96966279725763e-05×40589641000000     		ar = 20050.1253452019m²