Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45204 / 95308
↖ ↑ ↗
← S 63.010120°
W 55.843506°		 ← 138.58 m → S 63.010120°
W 55.840759°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.011366°
W 55.843506°		 ← 138.58 m →
19 203 m²		 S 63.011366°
W 55.840759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344882965087891 y=0.727146148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344882965087891 × 217)
    floor (0.344882965087891 × 131072)
    floor (45204.5)     		tx = 45204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727146148681641 × 217)
    floor (0.727146148681641 × 131072)
    floor (95308.5)     		ty = 95308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45204 / 95308 ti = "17/45204/95308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45204/95308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45204 ÷ 217
    45204 ÷ 131072     		x = 0.344879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95308 ÷ 217
    95308 ÷ 131072     		y = 0.727142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.31024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97465304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.45428466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42717737548831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97465304} λ = -0.97465304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42717737548831))-π/2
    2×atan(0.239985355683242)-π/2
    2×0.235531133930561-π/2
    0.471062267861122-1.57079632675     		φ = -1.09973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97465304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.010120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45204 KachelY 95308 -0.97465304 -1.09973406 -55.843506 -63.010120
    Oben rechts KachelX + 1 45205 KachelY 95308 -0.97460511 -1.09973406 -55.840759 -63.010120
    Unten links KachelX 45204 KachelY + 1 95309 -0.97465304 -1.09975581 -55.843506 -63.011366
    Unten rechts KachelX + 1 45205 KachelY + 1 95309 -0.97460511 -1.09975581 -55.840759 -63.011366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09973406--1.09975581) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09973406--1.09975581) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97465304--0.97460511) × cos(-1.09973406) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		do = 138.583400687438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97465304--0.97460511) × cos(-1.09975581) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453813731824982 × 6371000     		du = 138.577482391716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09973406)-sin(-1.09975581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453833113068033-0.453813731824982)×R²
    abs(-0.97460511--0.97465304)×1.93812430516194e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.93812430516194e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.93812430516194e-05×40589641000000     		ar = 19202.9878495292m²