Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45203 / 95307
↖ ↑ ↗
← S 63.008873°
W 55.846252°		 ← 138.62 m → S 63.008873°
W 55.843506°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
S 63.010120°
W 55.846252°		 ← 138.61 m →
19 217 m²		 S 63.010120°
W 55.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344875335693359 y=0.727138519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344875335693359 × 217)
    floor (0.344875335693359 × 131072)
    floor (45203.5)     		tx = 45203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727138519287109 × 217)
    floor (0.727138519287109 × 131072)
    floor (95307.5)     		ty = 95307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45203 / 95307 ti = "17/45203/95307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45203/95307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45203 ÷ 217
    45203 ÷ 131072     		x = 0.344871520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95307 ÷ 217
    95307 ÷ 131072     		y = 0.727134704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344871520996094 × 2 - 1) × π
    -0.310256958007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97470098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727134704589844 × 2 - 1) × π
    -0.454269409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.42712943858869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97470098} λ = -0.97470098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42712943858869))-π/2
    2×atan(0.239996860112889)-π/2
    2×0.235542011839104-π/2
    0.471084023678208-1.57079632675     		φ = -1.09971230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97470098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.846252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09971230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.008873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45203 KachelY 95307 -0.97470098 -1.09971230 -55.846252 -63.008873
    Oben rechts KachelX + 1 45204 KachelY 95307 -0.97465304 -1.09971230 -55.843506 -63.008873
    Unten links KachelX 45203 KachelY + 1 95308 -0.97470098 -1.09973406 -55.846252 -63.010120
    Unten rechts KachelX + 1 45204 KachelY + 1 95308 -0.97465304 -1.09973406 -55.843506 -63.010120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09971230--1.09973406) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09971230--1.09973406) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97470098--0.97465304) × cos(-1.09971230) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453852503007162 × 6371000     		do = 138.618236582045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97470098--0.97465304) × cos(-1.09973406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		du = 138.612314395538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09971230)-sin(-1.09973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453852503007162-0.453833113068033)×R²
    abs(-0.97465304--0.97470098)×1.9389939128589e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9389939128589e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9389939128589e-05×40589641000000     		ar = 19216.645942959m²