Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4520 / 4919
↖ ↑ ↗
← S 33.979809°
E 18.632813°		 ← 4 052.05 m → S 33.979809°
E 18.676758°		 →
↑
4 051.19 m
↓
↑
4 051.19 m
↓
S 34.016242°
E 18.632813°		 ← 4 050.31 m →
16 412 109 m²		 S 34.016242°
E 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55181884765625 y=0.60052490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55181884765625 × 213)
    floor (0.55181884765625 × 8192)
    floor (4520.5)     		tx = 4520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60052490234375 × 213)
    floor (0.60052490234375 × 8192)
    floor (4919.5)     		ty = 4919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4520 / 4919 ti = "13/4520/4919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4520/4919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4520 ÷ 213
    4520 ÷ 8192     		x = 0.5517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4919 ÷ 213
    4919 ÷ 8192     		y = 0.6004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.631233094196899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32520393} λ = 0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.631233094196899))-π/2
    2×atan(0.531935469889969)-π/2
    2×0.488868392647853-π/2
    0.977736785295705-1.57079632675     		φ = -0.59305954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59305954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.979809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4520 KachelY 4919 0.32520393 -0.59305954 18.632813 -33.979809
    Oben rechts KachelX + 1 4521 KachelY 4919 0.32597092 -0.59305954 18.676758 -33.979809
    Unten links KachelX 4520 KachelY + 1 4920 0.32520393 -0.59369542 18.632813 -34.016242
    Unten rechts KachelX + 1 4521 KachelY + 1 4920 0.32597092 -0.59369542 18.676758 -34.016242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59305954--0.59369542) × R
    0.000635879999999922 × 6371000     		dl = 4051.1914799995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59305954--0.59369542) × R
    0.000635879999999922 × 6371000     		dr = 4051.1914799995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32520393-0.32597092) × cos(-0.59305954) × R
    0.000766990000000023 × 0.829234583826295 × 6371000     		do = 4052.04922970325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32520393-0.32597092) × cos(-0.59369542) × R
    0.000766990000000023 × 0.828879022418254 × 6371000     		du = 4050.31178126868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59305954)-sin(-0.59369542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829234583826295-0.828879022418254)×R²
    abs(0.32597092-0.32520393)×0.000355561408040606×R²
    0.000766990000000023×0.000355561408040606×6371000²
    0.000766990000000023×0.000355561408040606×40589641000000     		ar = 16412108.5007755m²