Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4520 / 13112
↖ ↑ ↗
← S 72.764065°
W 80.683594°		 ← 723.94 m → S 72.764065°
W 80.661621°		 →
↑
723.81 m
↓
↑
723.81 m
↓
S 72.770574°
W 80.683594°		 ← 723.68 m →
523 900 m²		 S 72.770574°
W 80.661621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275909423828125 y=0.800323486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275909423828125 × 214)
    floor (0.275909423828125 × 16384)
    floor (4520.5)     		tx = 4520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800323486328125 × 214)
    floor (0.800323486328125 × 16384)
    floor (13112.5)     		ty = 13112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4520 / 13112 ti = "14/4520/13112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4520/13112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4520 ÷ 214
    4520 ÷ 16384     		x = 0.27587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13112 ÷ 214
    13112 ÷ 16384     		y = 0.80029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40819436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80029296875 × 2 - 1) × π
    -0.6005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40819436} λ = -1.40819436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88679636904541))-π/2
    2×atan(0.151556563232022)-π/2
    2×0.150411910128352-π/2
    0.300823820256704-1.57079632675     		φ = -1.26997251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40819436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.683594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26997251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.764065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4520 KachelY 13112 -1.40819436 -1.26997251 -80.683594 -72.764065
    Oben rechts KachelX + 1 4521 KachelY 13112 -1.40781087 -1.26997251 -80.661621 -72.764065
    Unten links KachelX 4520 KachelY + 1 13113 -1.40819436 -1.27008612 -80.683594 -72.770574
    Unten rechts KachelX + 1 4521 KachelY + 1 13113 -1.40781087 -1.27008612 -80.661621 -72.770574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26997251--1.27008612) × R
    0.000113609999999875 × 6371000     		dl = 723.809309999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26997251--1.27008612) × R
    0.000113609999999875 × 6371000     		dr = 723.809309999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40819436--1.40781087) × cos(-1.26997251) × R
    0.000383489999999931 × 0.296307128535886 × 6371000     		do = 723.941958821176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40819436--1.40781087) × cos(-1.27008612) × R
    0.000383489999999931 × 0.296198618541031 × 6371000     		du = 723.676845596885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26997251)-sin(-1.27008612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296307128535886-0.296198618541031)×R²
    abs(-1.40781087--1.40819436)×0.000108509994854566×R²
    0.000383489999999931×0.000108509994854566×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108509994854566×40589641000000     		ar = 523899.98454699m²