Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 452 / 316
↖ ↑ ↗
← N 76.999935°
W100.546875°		 ← 4 396.91 m → N 76.999935°
W100.371094°		 →
↑
4 403.51 m
↓
↑
4 403.51 m
↓
N 76.960333°
W100.546875°		 ← 4 410.07 m →
19 390 804 m²		 N 76.960333°
W100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220947265625 y=0.154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220947265625 × 211)
    floor (0.220947265625 × 2048)
    floor (452.5)     		tx = 452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154541015625 × 211)
    floor (0.154541015625 × 2048)
    floor (316.5)     		ty = 316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 452 / 316 ti = "11/452/316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/452/316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 452 ÷ 211
    452 ÷ 2048     		x = 0.220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 316 ÷ 211
    316 ÷ 2048     		y = 0.154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220703125 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154296875 × 2 - 1) × π
    0.69140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17211679558398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75487402} λ = -1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17211679558398))-π/2
    2×atan(8.77684317373692)-π/2
    2×1.45734935920703-π/2
    2.91469871841407-1.57079632675     		φ = 1.34390239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34390239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.999935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 452 KachelY 316 -1.75487402 1.34390239 -100.546875 76.999935
    Oben rechts KachelX + 1 453 KachelY 316 -1.75180606 1.34390239 -100.371094 76.999935
    Unten links KachelX 452 KachelY + 1 317 -1.75487402 1.34321121 -100.546875 76.960333
    Unten rechts KachelX + 1 453 KachelY + 1 317 -1.75180606 1.34321121 -100.371094 76.960333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34390239-1.34321121) × R
    0.000691180000000013 × 6371000     		dl = 4403.50778000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34390239-1.34321121) × R
    0.000691180000000013 × 6371000     		dr = 4403.50778000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75487402--1.75180606) × cos(1.34390239) × R
    0.00306795999999987 × 0.224952159314094 × 6371000     		do = 4396.90886823714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75487402--1.75180606) × cos(1.34321121) × R
    0.00306795999999987 × 0.225625570452356 × 6371000     		du = 4410.07134427125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34390239)-sin(1.34321121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224952159314094-0.225625570452356)×R²
    abs(-1.75180606--1.75487402)×0.000673411138261665×R²
    0.00306795999999987×0.000673411138261665×6371000²
    0.00306795999999987×0.000673411138261665×40589641000000     		ar = 19390803.713998m²