Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 452 / 300
↖ ↑ ↗
← N 59.534318°
W 21.093750°		 ← 19.820 km → N 59.534318°
W 20.742188°		 →
↑
19.873 km
↓
↑
19.873 km
↓
N 59.355596°
W 21.093750°		 ← 19.925 km →
394.936 km²		 N 59.355596°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44189453125 y=0.29345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44189453125 × 210)
    floor (0.44189453125 × 1024)
    floor (452.5)     		tx = 452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29345703125 × 210)
    floor (0.29345703125 × 1024)
    floor (300.5)     		ty = 300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 452 / 300 ti = "10/452/300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/452/300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 452 ÷ 210
    452 ÷ 1024     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 300 ÷ 210
    300 ÷ 1024     		y = 0.29296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29296875 × 2 - 1) × π
    0.4140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30081570808984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30081570808984))-π/2
    2×atan(3.67229096366478)-π/2
    2×1.30493309691225-π/2
    2.60986619382449-1.57079632675     		φ = 1.03906987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03906987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.534318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 452 KachelY 300 -0.36815539 1.03906987 -21.093750 59.534318
    Oben rechts KachelX + 1 453 KachelY 300 -0.36201947 1.03906987 -20.742188 59.534318
    Unten links KachelX 452 KachelY + 1 301 -0.36815539 1.03595058 -21.093750 59.355596
    Unten rechts KachelX + 1 453 KachelY + 1 301 -0.36201947 1.03595058 -20.742188 59.355596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03906987-1.03595058) × R
    0.00311929000000011 × 6371000     		dl = 19872.9965900007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03906987-1.03595058) × R
    0.00311929000000011 × 6371000     		dr = 19872.9965900007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36201947) × cos(1.03906987) × R
    0.00613592000000002 × 0.507022186184862 × 6371000     		do = 19820.4840853877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36201947) × cos(1.03595058) × R
    0.00613592000000002 × 0.509708334170315 × 6371000     		du = 19925.4908382426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03906987)-sin(1.03595058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507022186184862-0.509708334170315)×R²
    abs(-0.36201947--0.36815539)×0.00268614798545319×R²
    0.00613592000000002×0.00268614798545319×6371000²
    0.00613592000000002×0.00268614798545319×40589641000000     		ar = 394936132.288221m²