Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45199 / 94864
↖ ↑ ↗
← S 62.451406°
W 55.857239°		 ← 141.26 m → S 62.451406°
W 55.854492°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
S 62.452676°
W 55.857239°		 ← 141.25 m →
19 952 m²		 S 62.452676°
W 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344844818115234 y=0.723758697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344844818115234 × 217)
    floor (0.344844818115234 × 131072)
    floor (45199.5)     		tx = 45199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723758697509766 × 217)
    floor (0.723758697509766 × 131072)
    floor (94864.5)     		ty = 94864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45199 / 94864 ti = "17/45199/94864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45199/94864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45199 ÷ 217
    45199 ÷ 131072     		x = 0.344841003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94864 ÷ 217
    94864 ÷ 131072     		y = 0.7237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344841003417969 × 2 - 1) × π
    -0.310317993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97489273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97489273} λ = -0.97489273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40589339205701))-π/2
    2×atan(0.245147945364267)-π/2
    2×0.24040683581447-π/2
    0.480813671628939-1.57079632675     		φ = -1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97489273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.857239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45199 KachelY 94864 -0.97489273 -1.08998266 -55.857239 -62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 45200 KachelY 94864 -0.97484479 -1.08998266 -55.854492 -62.451406
    Unten links KachelX 45199 KachelY + 1 94865 -0.97489273 -1.09000483 -55.857239 -62.452676
    Unten rechts KachelX + 1 45200 KachelY + 1 94865 -0.97484479 -1.09000483 -55.854492 -62.452676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08998266--1.09000483) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dl = 141.245070000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08998266--1.09000483) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dr = 141.245070000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97489273--0.97484479) × cos(-1.08998266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 141.259631044868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97489273--0.97484479) × cos(-1.09000483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462481084461909 × 6371000     		du = 141.253627457689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08998266)-sin(-1.09000483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462481084461909)×R²
    abs(-0.97484479--0.97489273)×1.96564545582034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96564545582034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96564545582034e-05×40589641000000     		ar = 19951.8024874542m²