Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45199 / 94863
↖ ↑ ↗
← S 62.450135°
W 55.857239°		 ← 141.27 m → S 62.450135°
W 55.854492°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
S 62.451406°
W 55.857239°		 ← 141.26 m →
19 962 m²		 S 62.451406°
W 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344844818115234 y=0.723751068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344844818115234 × 217)
    floor (0.344844818115234 × 131072)
    floor (45199.5)     		tx = 45199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723751068115234 × 217)
    floor (0.723751068115234 × 131072)
    floor (94863.5)     		ty = 94863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45199 / 94863 ti = "17/45199/94863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45199/94863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45199 ÷ 217
    45199 ÷ 131072     		x = 0.344841003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94863 ÷ 217
    94863 ÷ 131072     		y = 0.723747253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344841003417969 × 2 - 1) × π
    -0.310317993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97489273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723747253417969 × 2 - 1) × π
    -0.447494506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.40584545515739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97489273} λ = -0.97489273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40584545515739))-π/2
    2×atan(0.245159697278389)-π/2
    2×0.240417921475946-π/2
    0.480835842951891-1.57079632675     		φ = -1.08996048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97489273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.857239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08996048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.450135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45199 KachelY 94863 -0.97489273 -1.08996048 -55.857239 -62.450135
    Oben rechts KachelX + 1 45200 KachelY 94863 -0.97484479 -1.08996048 -55.854492 -62.450135
    Unten links KachelX 45199 KachelY + 1 94864 -0.97489273 -1.08998266 -55.857239 -62.451406
    Unten rechts KachelX + 1 45200 KachelY + 1 94864 -0.97484479 -1.08998266 -55.854492 -62.451406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08996048--1.08998266) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dl = 141.30877999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08996048--1.08998266) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dr = 141.30877999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97489273--0.97484479) × cos(-1.08996048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462520406009789 × 6371000     		do = 141.265637270548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97489273--0.97484479) × cos(-1.08998266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462500740916468 × 6371000     		du = 141.259631044868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08996048)-sin(-1.08998266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462520406009789-0.462500740916468)×R²
    abs(-0.97484479--0.97489273)×1.96650933212972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96650933212972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96650933212972e-05×40589641000000     		ar = 19961.6504932715m²