Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45197 / 95285
↖ ↑ ↗
← S 62.981437°
W 55.862732°		 ← 138.75 m → S 62.981437°
W 55.859985°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
S 62.982685°
W 55.862732°		 ← 138.74 m →
19 252 m²		 S 62.982685°
W 55.859985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344829559326172 y=0.726970672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344829559326172 × 217)
    floor (0.344829559326172 × 131072)
    floor (45197.5)     		tx = 45197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726970672607422 × 217)
    floor (0.726970672607422 × 131072)
    floor (95285.5)     		ty = 95285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45197 / 95285 ti = "17/45197/95285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45197/95285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45197 ÷ 217
    45197 ÷ 131072     		x = 0.344825744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95285 ÷ 217
    95285 ÷ 131072     		y = 0.726966857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344825744628906 × 2 - 1) × π
    -0.310348510742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97498860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726966857910156 × 2 - 1) × π
    -0.453933715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42607482679705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97498860} λ = -0.97498860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42607482679705))-π/2
    2×atan(0.240250097141428)-π/2
    2×0.235781443413272-π/2
    0.471562886826545-1.57079632675     		φ = -1.09923344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97498860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.862732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09923344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.981437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45197 KachelY 95285 -0.97498860 -1.09923344 -55.862732 -62.981437
    Oben rechts KachelX + 1 45198 KachelY 95285 -0.97494066 -1.09923344 -55.859985 -62.981437
    Unten links KachelX 45197 KachelY + 1 95286 -0.97498860 -1.09925522 -55.862732 -62.982685
    Unten rechts KachelX + 1 45198 KachelY + 1 95286 -0.97494066 -1.09925522 -55.859985 -62.982685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09923344--1.09925522) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dl = 138.760380001232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09923344--1.09925522) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dr = 138.760380001232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97498860--0.97494066) × cos(-1.09923344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454279152002838 × 6371000     		do = 138.748546166948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97498860--0.97494066) × cos(-1.09925522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454259748977586 × 6371000     		du = 138.742619983602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09923344)-sin(-1.09925522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454279152002838-0.454259748977586)×R²
    abs(-0.97494066--0.97498860)×1.94030252521626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94030252521626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94030252521626e-05×40589641000000     		ar = 19252.3898317854m²