Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45196 / 95284
↖ ↑ ↗
← S 62.980189°
W 55.865479°		 ← 138.75 m → S 62.980189°
W 55.862732°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
S 62.981437°
W 55.865479°		 ← 138.75 m →
19 253 m²		 S 62.981437°
W 55.862732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344821929931641 y=0.726963043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344821929931641 × 217)
    floor (0.344821929931641 × 131072)
    floor (45196.5)     		tx = 45196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726963043212891 × 217)
    floor (0.726963043212891 × 131072)
    floor (95284.5)     		ty = 95284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45196 / 95284 ti = "17/45196/95284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45196/95284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45196 ÷ 217
    45196 ÷ 131072     		x = 0.344818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95284 ÷ 217
    95284 ÷ 131072     		y = 0.726959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.31036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97503654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.45391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42602688989743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97503654} λ = -0.97503654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42602688989743))-π/2
    2×atan(0.240261614262263)-π/2
    2×0.235792332012824-π/2
    0.471584664025648-1.57079632675     		φ = -1.09921166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97503654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.865479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09921166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.980189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45196 KachelY 95284 -0.97503654 -1.09921166 -55.865479 -62.980189
    Oben rechts KachelX + 1 45197 KachelY 95284 -0.97498860 -1.09921166 -55.862732 -62.980189
    Unten links KachelX 45196 KachelY + 1 95285 -0.97503654 -1.09923344 -55.865479 -62.981437
    Unten rechts KachelX + 1 45197 KachelY + 1 95285 -0.97498860 -1.09923344 -55.862732 -62.981437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09921166--1.09923344) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dl = 138.760379999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09921166--1.09923344) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dr = 138.760379999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97503654--0.97498860) × cos(-1.09921166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454298554812594 × 6371000     		do = 138.754472284476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97503654--0.97498860) × cos(-1.09923344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454279152002838 × 6371000     		du = 138.748546166948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09921166)-sin(-1.09923344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454298554812594-0.454279152002838)×R²
    abs(-0.97498860--0.97503654)×1.94028097563193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94028097563193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94028097563193e-05×40589641000000     		ar = 19253.2121466153m²