Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45195 / 95235
↖ ↑ ↗
← S 62.918984°
W 55.868225°		 ← 139.05 m → S 62.918984°
W 55.865479°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 62.920235°
W 55.868225°		 ← 139.04 m →
19 329 m²		 S 62.920235°
W 55.865479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344814300537109 y=0.726589202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344814300537109 × 217)
    floor (0.344814300537109 × 131072)
    floor (45195.5)     		tx = 45195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726589202880859 × 217)
    floor (0.726589202880859 × 131072)
    floor (95235.5)     		ty = 95235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45195 / 95235 ti = "17/45195/95235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45195/95235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45195 ÷ 217
    45195 ÷ 131072     		x = 0.344810485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95235 ÷ 217
    95235 ÷ 131072     		y = 0.726585388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344810485839844 × 2 - 1) × π
    -0.310379028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.97508448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726585388183594 × 2 - 1) × π
    -0.453170776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42367798181605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97508448} λ = -0.97508448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42367798181605))-π/2
    2×atan(0.240826630034924)-π/2
    2×0.236326443307236-π/2
    0.472652886614471-1.57079632675     		φ = -1.09814344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97508448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.868225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09814344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.918984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45195 KachelY 95235 -0.97508448 -1.09814344 -55.868225 -62.918984
    Oben rechts KachelX + 1 45196 KachelY 95235 -0.97503654 -1.09814344 -55.865479 -62.918984
    Unten links KachelX 45195 KachelY + 1 95236 -0.97508448 -1.09816526 -55.868225 -62.920235
    Unten rechts KachelX + 1 45196 KachelY + 1 95236 -0.97503654 -1.09816526 -55.865479 -62.920235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09814344--1.09816526) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dl = 139.015219999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09814344--1.09816526) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dr = 139.015219999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97508448--0.97503654) × cos(-1.09814344) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455249918680727 × 6371000     		do = 139.045043298232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97508448--0.97503654) × cos(-1.09816526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455230490836502 × 6371000     		du = 139.039109534533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09814344)-sin(-1.09816526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455249918680727-0.455230490836502)×R²
    abs(-0.97503654--0.97508448)×1.94278442249285e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94278442249285e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94278442249285e-05×40589641000000     		ar = 19328.9648429903m²