Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45194 / 95234
↖ ↑ ↗
← S 62.917734°
W 55.870972°		 ← 139.02 m → S 62.917734°
W 55.868225°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 62.918984°
W 55.870972°		 ← 139.02 m →
19 326 m²		 S 62.918984°
W 55.868225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344806671142578 y=0.726581573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344806671142578 × 217)
    floor (0.344806671142578 × 131072)
    floor (45194.5)     		tx = 45194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726581573486328 × 217)
    floor (0.726581573486328 × 131072)
    floor (95234.5)     		ty = 95234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45194 / 95234 ti = "17/45194/95234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45194/95234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45194 ÷ 217
    45194 ÷ 131072     		x = 0.344802856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95234 ÷ 217
    95234 ÷ 131072     		y = 0.726577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344802856445312 × 2 - 1) × π
    -0.310394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97513241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.453155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42363004491643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97513241} λ = -0.97513241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42363004491643))-π/2
    2×atan(0.240838174793622)-π/2
    2×0.236337355174922-π/2
    0.472674710349845-1.57079632675     		φ = -1.09812162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97513241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.870972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09812162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.917734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45194 KachelY 95234 -0.97513241 -1.09812162 -55.870972 -62.917734
    Oben rechts KachelX + 1 45195 KachelY 95234 -0.97508448 -1.09812162 -55.868225 -62.917734
    Unten links KachelX 45194 KachelY + 1 95235 -0.97513241 -1.09814344 -55.870972 -62.918984
    Unten rechts KachelX + 1 45195 KachelY + 1 95235 -0.97508448 -1.09814344 -55.868225 -62.918984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09812162--1.09814344) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dl = 139.015220001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09812162--1.09814344) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dr = 139.015220001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97513241--0.97508448) × cos(-1.09812162) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455269346308202 × 6371000     		do = 139.021971785209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97513241--0.97508448) × cos(-1.09814344) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455249918680727 × 6371000     		du = 139.016039325445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09812162)-sin(-1.09814344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455269346308202-0.455249918680727)×R²
    abs(-0.97508448--0.97513241)×1.94276274750327e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94276274750327e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94276274750327e-05×40589641000000     		ar = 19325.7576424618m²