Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45193 / 95261
↖ ↑ ↗
← S 62.951476°
W 55.873718°		 ← 138.89 m → S 62.951476°
W 55.870972°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.952725°
W 55.873718°		 ← 138.88 m →
19 290 m²		 S 62.952725°
W 55.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344799041748047 y=0.726787567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344799041748047 × 217)
    floor (0.344799041748047 × 131072)
    floor (45193.5)     		tx = 45193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726787567138672 × 217)
    floor (0.726787567138672 × 131072)
    floor (95261.5)     		ty = 95261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45193 / 95261 ti = "17/45193/95261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45193/95261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45193 ÷ 217
    45193 ÷ 131072     		x = 0.344795227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95261 ÷ 217
    95261 ÷ 131072     		y = 0.726783752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344795227050781 × 2 - 1) × π
    -0.310409545898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97518035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726783752441406 × 2 - 1) × π
    -0.453567504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42492434120617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97518035} λ = -0.97518035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42492434120617))-π/2
    2×atan(0.240526660476958)-π/2
    2×0.236042898173027-π/2
    0.472085796346053-1.57079632675     		φ = -1.09871053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97518035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.873718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09871053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.951476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45193 KachelY 95261 -0.97518035 -1.09871053 -55.873718 -62.951476
    Oben rechts KachelX + 1 45194 KachelY 95261 -0.97513241 -1.09871053 -55.870972 -62.951476
    Unten links KachelX 45193 KachelY + 1 95262 -0.97518035 -1.09873233 -55.873718 -62.952725
    Unten rechts KachelX + 1 45194 KachelY + 1 95262 -0.97513241 -1.09873233 -55.870972 -62.952725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09871053--1.09873233) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09871053--1.09873233) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97518035--0.97513241) × cos(-1.09871053) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.454744929157151 × 6371000     		do = 138.890806499301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97518035--0.97513241) × cos(-1.09873233) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.454725513495584 × 6371000     		du = 138.884876456499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09871053)-sin(-1.09873233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454744929157151-0.454725513495584)×R²
    abs(-0.97513241--0.97518035)×1.94156615665464e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94156615665464e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94156615665464e-05×40589641000000     		ar = 19289.826750554m²