Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4519 / 4810
↖ ↑ ↗
← S 29.916852°
E 18.588867°		 ← 4 235.37 m → S 29.916852°
E 18.632813°		 →
↑
4 234.61 m
↓
↑
4 234.61 m
↓
S 29.954935°
E 18.588867°		 ← 4 233.75 m →
17 931 714 m²		 S 29.954935°
E 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55169677734375 y=0.58721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55169677734375 × 213)
    floor (0.55169677734375 × 8192)
    floor (4519.5)     		tx = 4519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58721923828125 × 213)
    floor (0.58721923828125 × 8192)
    floor (4810.5)     		ty = 4810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4519 / 4810 ti = "13/4519/4810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4519/4810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4519 ÷ 213
    4519 ÷ 8192     		x = 0.5516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4810 ÷ 213
    4810 ÷ 8192     		y = 0.587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5516357421875 × 2 - 1) × π
    0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32443694} λ = 0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547631141259522))-π/2
    2×atan(0.578318143035143)-π/2
    2×0.524324376754385-π/2
    1.04864875350877-1.57079632675     		φ = -0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4519 KachelY 4810 0.32443694 -0.52214757 18.588867 -29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 4520 KachelY 4810 0.32520393 -0.52214757 18.632813 -29.916852
    Unten links KachelX 4519 KachelY + 1 4811 0.32443694 -0.52281224 18.588867 -29.954935
    Unten rechts KachelX + 1 4520 KachelY + 1 4811 0.32520393 -0.52281224 18.632813 -29.954935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52214757--0.52281224) × R
    0.000664670000000034 × 6371000     		dl = 4234.61257000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52214757--0.52281224) × R
    0.000664670000000034 × 6371000     		dr = 4234.61257000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32443694-0.32520393) × cos(-0.52214757) × R
    0.000766989999999967 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 4235.36852041825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32443694-0.32520393) × cos(-0.52281224) × R
    0.000766989999999967 × 0.866418403664834 × 6371000     		du = 4233.74771584055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52214757)-sin(-0.52281224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866418403664834)×R²
    abs(0.32520393-0.32443694)×0.000331690740478119×R²
    0.000766989999999967×0.000331690740478119×6371000²
    0.000766989999999967×0.000331690740478119×40589641000000     		ar = 17931713.6955927m²