Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4519 / 1837
↖ ↑ ↗
← N 82.965935°
W130.352783°		 ← 149.60 m → N 82.965935°
W130.341797°		 →
↑
149.65 m
↓
↑
149.65 m
↓
N 82.964590°
W130.352783°		 ← 149.63 m →
22 391 m²		 N 82.964590°
W130.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137924194335938 y=0.0560760498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137924194335938 × 215)
    floor (0.137924194335938 × 32768)
    floor (4519.5)     		tx = 4519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0560760498046875 × 215)
    floor (0.0560760498046875 × 32768)
    floor (1837.5)     		ty = 1837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4519 / 1837 ti = "15/4519/1837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4519/1837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4519 ÷ 215
    4519 ÷ 32768     		x = 0.137908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1837 ÷ 215
    1837 ÷ 32768     		y = 0.056060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.72418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27508526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.056060791015625 × 2 - 1) × π
    0.88787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.78935231509183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27508526} λ = -2.27508526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78935231509183))-π/2
    2×atan(16.2704782451452)-π/2
    2×1.50941253221568-π/2
    3.01882506443137-1.57079632675     		φ = 1.44802874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27508526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.352783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44802874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.965935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4519 KachelY 1837 -2.27508526 1.44802874 -130.352783 82.965935
    Oben rechts KachelX + 1 4520 KachelY 1837 -2.27489351 1.44802874 -130.341797 82.965935
    Unten links KachelX 4519 KachelY + 1 1838 -2.27508526 1.44800525 -130.352783 82.964590
    Unten rechts KachelX + 1 4520 KachelY + 1 1838 -2.27489351 1.44800525 -130.341797 82.964590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44802874-1.44800525) × R
    2.34900000000149e-05 × 6371000     		dl = 149.654790000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44802874-1.44800525) × R
    2.34900000000149e-05 × 6371000     		dr = 149.654790000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27508526--2.27489351) × cos(1.44802874) × R
    0.000191749999999935 × 0.122459429381977 × 6371000     		do = 149.601245465575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27508526--2.27489351) × cos(1.44800525) × R
    0.000191749999999935 × 0.122482742551177 × 6371000     		du = 149.629725748112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44802874)-sin(1.44800525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122459429381977-0.122482742551177)×R²
    abs(-2.27489351--2.27508526)×2.33131692003452e-05×R²
    0.000191749999999935×2.33131692003452e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.33131692003452e-05×40589641000000     		ar = 22390.6740800818m²