Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45188 / 95252
↖ ↑ ↗
← S 62.940233°
W 55.887451°		 ← 138.92 m → S 62.940233°
W 55.884705°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.941483°
W 55.887451°		 ← 138.91 m →
19 302 m²		 S 62.941483°
W 55.884705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344760894775391 y=0.726718902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344760894775391 × 217)
    floor (0.344760894775391 × 131072)
    floor (45188.5)     		tx = 45188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726718902587891 × 217)
    floor (0.726718902587891 × 131072)
    floor (95252.5)     		ty = 95252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45188 / 95252 ti = "17/45188/95252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45188/95252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45188 ÷ 217
    45188 ÷ 131072     		x = 0.344757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95252 ÷ 217
    95252 ÷ 131072     		y = 0.726715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.31048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97542003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.45343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42449290910959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97542003} λ = -0.97542003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42449290910959))-π/2
    2×atan(0.240630453786643)-π/2
    2×0.236141012800121-π/2
    0.472282025600242-1.57079632675     		φ = -1.09851430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97542003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09851430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.940233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45188 KachelY 95252 -0.97542003 -1.09851430 -55.887451 -62.940233
    Oben rechts KachelX + 1 45189 KachelY 95252 -0.97537210 -1.09851430 -55.884705 -62.940233
    Unten links KachelX 45188 KachelY + 1 95253 -0.97542003 -1.09853611 -55.887451 -62.941483
    Unten rechts KachelX + 1 45189 KachelY + 1 95253 -0.97537210 -1.09853611 -55.884705 -62.941483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09851430--1.09853611) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09851430--1.09853611) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97542003--0.97537210) × cos(-1.09851430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454919687101032 × 6371000     		do = 138.915199140221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97542003--0.97537210) × cos(-1.09853611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454900264479688 × 6371000     		du = 138.909268209139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09851430)-sin(-1.09853611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454919687101032-0.454900264479688)×R²
    abs(-0.97537210--0.97542003)×1.94226213439119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94226213439119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94226213439119e-05×40589641000000     		ar = 19302.0646274215m²