Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45187 / 95251
↖ ↑ ↗
← S 62.938984°
W 55.890198°		 ← 138.95 m → S 62.938984°
W 55.887451°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.940233°
W 55.890198°		 ← 138.94 m →
19 307 m²		 S 62.940233°
W 55.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344753265380859 y=0.726711273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344753265380859 × 217)
    floor (0.344753265380859 × 131072)
    floor (45187.5)     		tx = 45187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726711273193359 × 217)
    floor (0.726711273193359 × 131072)
    floor (95251.5)     		ty = 95251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45187 / 95251 ti = "17/45187/95251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45187/95251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45187 ÷ 217
    45187 ÷ 131072     		x = 0.344749450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95251 ÷ 217
    95251 ÷ 131072     		y = 0.726707458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344749450683594 × 2 - 1) × π
    -0.310501098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97546797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726707458496094 × 2 - 1) × π
    -0.453414916992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42444497220997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97546797} λ = -0.97546797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42444497220997))-π/2
    2×atan(0.240641989141034)-π/2
    2×0.236151916752522-π/2
    0.472303833505044-1.57079632675     		φ = -1.09849249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97546797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.890198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09849249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.938984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45187 KachelY 95251 -0.97546797 -1.09849249 -55.890198 -62.938984
    Oben rechts KachelX + 1 45188 KachelY 95251 -0.97542003 -1.09849249 -55.887451 -62.938984
    Unten links KachelX 45187 KachelY + 1 95252 -0.97546797 -1.09851430 -55.890198 -62.940233
    Unten rechts KachelX + 1 45188 KachelY + 1 95252 -0.97542003 -1.09851430 -55.887451 -62.940233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09849249--1.09851430) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09849249--1.09851430) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97546797--0.97542003) × cos(-1.09849249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454939109505981 × 6371000     		do = 138.950114175714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97546797--0.97542003) × cos(-1.09851430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454919687101032 × 6371000     		du = 138.94418207331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09849249)-sin(-1.09851430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454939109505981-0.454919687101032)×R²
    abs(-0.97542003--0.97546797)×1.9422404949454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9422404949454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9422404949454e-05×40589641000000     		ar = 19306.9160427855m²