Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45180 / 78126
↖ ↑ ↗
← S 32.653251°
W 55.909424°		 ← 257.15 m → S 32.653251°
W 55.906677°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 32.655563°
W 55.909424°		 ← 257.15 m →
66 122 m²		 S 32.655563°
W 55.906677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344699859619141 y=0.596057891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344699859619141 × 217)
    floor (0.344699859619141 × 131072)
    floor (45180.5)     		tx = 45180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596057891845703 × 217)
    floor (0.596057891845703 × 131072)
    floor (78126.5)     		ty = 78126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45180 / 78126 ti = "17/45180/78126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45180/78126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45180 ÷ 217
    45180 ÷ 131072     		x = 0.344696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78126 ÷ 217
    78126 ÷ 131072     		y = 0.596054077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.31060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97580353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596054077148438 × 2 - 1) × π
    -0.192108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.603525566216507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97580353} λ = -0.97580353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603525566216507))-π/2
    2×atan(0.546880171085093)-π/2
    2×0.500444793737114-π/2
    1.00088958747423-1.57079632675     		φ = -0.56990674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97580353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56990674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.653251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45180 KachelY 78126 -0.97580353 -0.56990674 -55.909424 -32.653251
    Oben rechts KachelX + 1 45181 KachelY 78126 -0.97575559 -0.56990674 -55.906677 -32.653251
    Unten links KachelX 45180 KachelY + 1 78127 -0.97580353 -0.56994710 -55.909424 -32.655563
    Unten rechts KachelX + 1 45181 KachelY + 1 78127 -0.97575559 -0.56994710 -55.906677 -32.655563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56990674--0.56994710) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dl = 257.133560000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56990674--0.56994710) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dr = 257.133560000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97580353--0.97575559) × cos(-0.56990674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841951297585874 × 6371000     		do = 257.153598108957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97580353--0.97575559) × cos(-0.56994710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841929520519641 × 6371000     		du = 257.146946832388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56990674)-sin(-0.56994710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841951297585874-0.841929520519641)×R²
    abs(-0.97575559--0.97580353)×2.17770662329642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17770662329642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17770662329642e-05×40589641000000     		ar = 66121.9650243762m²