Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4518 / 13159
↖ ↑ ↗
← S 73.067446°
W 80.727539°		 ← 711.58 m → S 73.067446°
W 80.705566°		 →
↑
711.45 m
↓
↑
711.45 m
↓
S 73.073844°
W 80.727539°		 ← 711.32 m →
506 158 m²		 S 73.073844°
W 80.705566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275787353515625 y=0.803192138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275787353515625 × 214)
    floor (0.275787353515625 × 16384)
    floor (4518.5)     		tx = 4518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803192138671875 × 214)
    floor (0.803192138671875 × 16384)
    floor (13159.5)     		ty = 13159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4518 / 13159 ti = "14/4518/13159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4518/13159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4518 ÷ 214
    4518 ÷ 16384     		x = 0.2757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13159 ÷ 214
    13159 ÷ 16384     		y = 0.80316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40896135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.6063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90482064330255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40896135} λ = -1.40896135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90482064330255))-π/2
    2×atan(0.148849337353695)-π/2
    2×0.147764415651994-π/2
    0.295528831303987-1.57079632675     		φ = -1.27526750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40896135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.727539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27526750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.067446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4518 KachelY 13159 -1.40896135 -1.27526750 -80.727539 -73.067446
    Oben rechts KachelX + 1 4519 KachelY 13159 -1.40857786 -1.27526750 -80.705566 -73.067446
    Unten links KachelX 4518 KachelY + 1 13160 -1.40896135 -1.27537917 -80.727539 -73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 4519 KachelY + 1 13160 -1.40857786 -1.27537917 -80.705566 -73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27526750--1.27537917) × R
    0.000111669999999897 × 6371000     		dl = 711.449569999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27526750--1.27537917) × R
    0.000111669999999897 × 6371000     		dr = 711.449569999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40896135--1.40857786) × cos(-1.27526750) × R
    0.000383489999999931 × 0.291245792056504 × 6371000     		do = 711.576026677586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40896135--1.40857786) × cos(-1.27537917) × R
    0.000383489999999931 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 711.315016266233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27526750)-sin(-1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291245792056504-0.291138961329864)×R²
    abs(-1.40857786--1.40896135)×0.000106830726639806×R²
    0.000383489999999931×0.000106830726639806×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106830726639806×40589641000000     		ar = 506157.610855828m²