Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45170 / 95442
↖ ↑ ↗
← S 63.176672°
W 55.936890°		 ← 137.82 m → S 63.176672°
W 55.934143°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
S 63.177912°
W 55.936890°		 ← 137.81 m →
19 001 m²		 S 63.177912°
W 55.934143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344623565673828 y=0.728168487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344623565673828 × 217)
    floor (0.344623565673828 × 131072)
    floor (45170.5)     		tx = 45170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728168487548828 × 217)
    floor (0.728168487548828 × 131072)
    floor (95442.5)     		ty = 95442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45170 / 95442 ti = "17/45170/95442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45170/95442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45170 ÷ 217
    45170 ÷ 131072     		x = 0.344619750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95442 ÷ 217
    95442 ÷ 131072     		y = 0.728164672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344619750976562 × 2 - 1) × π
    -0.310760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97628290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728164672851562 × 2 - 1) × π
    -0.456329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4336009200374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97628290} λ = -0.97628290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4336009200374))-π/2
    2×atan(0.238448739604441)-π/2
    2×0.234077691048106-π/2
    0.468155382096212-1.57079632675     		φ = -1.10264094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97628290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.936890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10264094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.176672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45170 KachelY 95442 -0.97628290 -1.10264094 -55.936890 -63.176672
    Oben rechts KachelX + 1 45171 KachelY 95442 -0.97623496 -1.10264094 -55.934143 -63.176672
    Unten links KachelX 45170 KachelY + 1 95443 -0.97628290 -1.10266258 -55.936890 -63.177912
    Unten rechts KachelX + 1 45171 KachelY + 1 95443 -0.97623496 -1.10266258 -55.934143 -63.177912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10264094--1.10266258) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dl = 137.868440000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10264094--1.10266258) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dr = 137.868440000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97628290--0.97623496) × cos(-1.10264094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451240917179325 × 6371000     		do = 137.820591047684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97628290--0.97623496) × cos(-1.10266258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451221605490692 × 6371000     		du = 137.814692760892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10264094)-sin(-1.10266258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451240917179325-0.451221605490692)×R²
    abs(-0.97623496--0.97628290)×1.93116886330613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93116886330613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93116886330613e-05×40589641000000     		ar = 19000.7032947338m²