Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4517 / 2374
↖ ↑ ↗
← N 82.205282°
W130.374756°		 ← 165.68 m → N 82.205282°
W130.363769°		 →
↑
165.71 m
↓
↑
165.71 m
↓
N 82.203792°
W130.374756°		 ← 165.72 m →
27 458 m²		 N 82.203792°
W130.363769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137863159179688 y=0.0724639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137863159179688 × 215)
    floor (0.137863159179688 × 32768)
    floor (4517.5)     		tx = 4517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0724639892578125 × 215)
    floor (0.0724639892578125 × 32768)
    floor (2374.5)     		ty = 2374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4517 / 2374 ti = "15/4517/2374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4517/2374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4517 ÷ 215
    4517 ÷ 32768     		x = 0.137847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2374 ÷ 215
    2374 ÷ 32768     		y = 0.07244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.72430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27546875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07244873046875 × 2 - 1) × π
    0.8551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.68638385470795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27546875} λ = -2.27546875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68638385470795))-π/2
    2×atan(14.678500243352)-π/2
    2×1.50277458150689-π/2
    3.00554916301379-1.57079632675     		φ = 1.43475284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27546875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.374756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43475284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.205282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4517 KachelY 2374 -2.27546875 1.43475284 -130.374756 82.205282
    Oben rechts KachelX + 1 4518 KachelY 2374 -2.27527700 1.43475284 -130.363769 82.205282
    Unten links KachelX 4517 KachelY + 1 2375 -2.27546875 1.43472683 -130.374756 82.203792
    Unten rechts KachelX + 1 4518 KachelY + 1 2375 -2.27527700 1.43472683 -130.363769 82.203792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43475284-1.43472683) × R
    2.60100000000207e-05 × 6371000     		dl = 165.709710000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43475284-1.43472683) × R
    2.60100000000207e-05 × 6371000     		dr = 165.709710000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27546875--2.27527700) × cos(1.43475284) × R
    0.000191749999999935 × 0.135624229998547 × 6371000     		do = 165.683882617197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27546875--2.27527700) × cos(1.43472683) × R
    0.000191749999999935 × 0.135649999629334 × 6371000     		du = 165.715363809623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43475284)-sin(1.43472683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135624229998547-0.135649999629334)×R²
    abs(-2.27527700--2.27546875)×2.57696307863486e-05×R²
    0.000191749999999935×2.57696307863486e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.57696307863486e-05×40589641000000     		ar = 27458.036511233m²