Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4517 / 13157
↖ ↑ ↗
← S 73.054642°
W 80.749512°		 ← 712.12 m → S 73.054642°
W 80.727539°		 →
↑
711.96 m
↓
↑
711.96 m
↓
S 73.061044°
W 80.749512°		 ← 711.86 m →
506 905 m²		 S 73.061044°
W 80.727539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275726318359375 y=0.803070068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275726318359375 × 214)
    floor (0.275726318359375 × 16384)
    floor (4517.5)     		tx = 4517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803070068359375 × 214)
    floor (0.803070068359375 × 16384)
    floor (13157.5)     		ty = 13157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4517 / 13157 ti = "14/4517/13157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4517/13157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4517 ÷ 214
    4517 ÷ 16384     		x = 0.27569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13157 ÷ 214
    13157 ÷ 16384     		y = 0.80303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.4486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40934485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.6060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90405365290863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40934485} λ = -1.40934485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90405365290863))-π/2
    2×atan(0.148963547158899)-π/2
    2×0.147876148001342-π/2
    0.295752296002685-1.57079632675     		φ = -1.27504403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40934485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.749512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27504403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.054642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4517 KachelY 13157 -1.40934485 -1.27504403 -80.749512 -73.054642
    Oben rechts KachelX + 1 4518 KachelY 13157 -1.40896135 -1.27504403 -80.727539 -73.054642
    Unten links KachelX 4517 KachelY + 1 13158 -1.40934485 -1.27515578 -80.749512 -73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 4518 KachelY + 1 13158 -1.40896135 -1.27515578 -80.727539 -73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27504403--1.27515578) × R
    0.000111749999999855 × 6371000     		dl = 711.959249999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27504403--1.27515578) × R
    0.000111749999999855 × 6371000     		dr = 711.959249999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40934485--1.40896135) × cos(-1.27504403) × R
    0.000383500000000092 × 0.291459566968593 × 6371000     		do = 712.116893593844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40934485--1.40896135) × cos(-1.27515578) × R
    0.000383500000000092 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 711.855707155048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27504403)-sin(-1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291459566968593-0.291352666982039)×R²
    abs(-1.40896135--1.40934485)×0.000106899986553222×R²
    0.000383500000000092×0.000106899986553222×6371000²
    0.000383500000000092×0.000106899986553222×40589641000000     		ar = 506905.23295273m²