Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45160 / 95335
↖ ↑ ↗
← S 63.043756°
W 55.964356°		 ← 138.45 m → S 63.043756°
W 55.961609°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.045001°
W 55.964356°		 ← 138.45 m →
19 167 m²		 S 63.045001°
W 55.961609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344547271728516 y=0.727352142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344547271728516 × 217)
    floor (0.344547271728516 × 131072)
    floor (45160.5)     		tx = 45160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727352142333984 × 217)
    floor (0.727352142333984 × 131072)
    floor (95335.5)     		ty = 95335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45160 / 95335 ti = "17/45160/95335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45160/95335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45160 ÷ 217
    45160 ÷ 131072     		x = 0.34454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95335 ÷ 217
    95335 ÷ 131072     		y = 0.727348327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.3109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97676227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727348327636719 × 2 - 1) × π
    -0.454696655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42847167177805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97676227} λ = -0.97676227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42847167177805))-π/2
    2×atan(0.239674944453174)-π/2
    2×0.235237605989475-π/2
    0.470475211978951-1.57079632675     		φ = -1.10032111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97676227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.964356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10032111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.043756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45160 KachelY 95335 -0.97676227 -1.10032111 -55.964356 -63.043756
    Oben rechts KachelX + 1 45161 KachelY 95335 -0.97671433 -1.10032111 -55.961609 -63.043756
    Unten links KachelX 45160 KachelY + 1 95336 -0.97676227 -1.10034284 -55.964356 -63.045001
    Unten rechts KachelX + 1 45161 KachelY + 1 95336 -0.97671433 -1.10034284 -55.961609 -63.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10032111--1.10034284) × R
    2.17299999998311e-05 × 6371000     		dl = 138.441829998924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10032111--1.10034284) × R
    2.17299999998311e-05 × 6371000     		dr = 138.441829998924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97676227--0.97671433) × cos(-1.10032111) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453309922449588 × 6371000     		do = 138.452518513738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97676227--0.97671433) × cos(-1.10034284) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453290553242562 × 6371000     		du = 138.446602659349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10032111)-sin(-1.10034284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453309922449588-0.453290553242562)×R²
    abs(-0.97671433--0.97676227)×1.93692070256657e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93692070256657e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93692070256657e-05×40589641000000     		ar = 19167.2105308136m²