Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4516 / 5916
↖ ↑ ↗
← S 62.186014°
E 18.457032°		 ← 2 280.05 m → S 62.186014°
E 18.500977°		 →
↑
2 279.29 m
↓
↑
2 279.29 m
↓
S 62.206512°
E 18.457032°		 ← 2 278.50 m →
5 195 131 m²		 S 62.206512°
E 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55133056640625 y=0.72222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55133056640625 × 213)
    floor (0.55133056640625 × 8192)
    floor (4516.5)     		tx = 4516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72222900390625 × 213)
    floor (0.72222900390625 × 8192)
    floor (5916.5)     		ty = 5916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4516 / 5916 ti = "13/4516/5916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4516/5916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4516 ÷ 213
    4516 ÷ 8192     		x = 0.55126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5916 ÷ 213
    5916 ÷ 8192     		y = 0.72216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55126953125 × 2 - 1) × π
    0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72216796875 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32213597} λ = 0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39592251693604))-π/2
    2×atan(0.247604511619053)-π/2
    2×0.242722818157328-π/2
    0.485445636314655-1.57079632675     		φ = -1.08535069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08535069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.186014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4516 KachelY 5916 0.32213597 -1.08535069 18.457032 -62.186014
    Oben rechts KachelX + 1 4517 KachelY 5916 0.32290296 -1.08535069 18.500977 -62.186014
    Unten links KachelX 4516 KachelY + 1 5917 0.32213597 -1.08570845 18.457032 -62.206512
    Unten rechts KachelX + 1 4517 KachelY + 1 5917 0.32290296 -1.08570845 18.500977 -62.206512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08535069--1.08570845) × R
    0.000357759999999985 × 6371000     		dl = 2279.2889599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08535069--1.08570845) × R
    0.000357759999999985 × 6371000     		dr = 2279.2889599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32213597-0.32290296) × cos(-1.08535069) × R
    0.000766990000000023 × 0.46660255685181 × 6371000     		do = 2280.05026315328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32213597-0.32290296) × cos(-1.08570845) × R
    0.000766990000000023 × 0.466286100047518 × 6371000     		du = 2278.50389910253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08535069)-sin(-1.08570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46660255685181-0.466286100047518)×R²
    abs(0.32290296-0.32213597)×0.000316456804291654×R²
    0.000766990000000023×0.000316456804291654×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316456804291654×40589641000000     		ar = 5195131.14320639m²