Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45154 / 95455
↖ ↑ ↗
← S 63.192780°
W 55.980835°		 ← 137.74 m → S 63.192780°
W 55.978088°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
S 63.194018°
W 55.980835°		 ← 137.74 m →
18 973 m²		 S 63.194018°
W 55.978088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344501495361328 y=0.728267669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344501495361328 × 217)
    floor (0.344501495361328 × 131072)
    floor (45154.5)     		tx = 45154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728267669677734 × 217)
    floor (0.728267669677734 × 131072)
    floor (95455.5)     		ty = 95455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45154 / 95455 ti = "17/45154/95455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45154/95455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45154 ÷ 217
    45154 ÷ 131072     		x = 0.344497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95455 ÷ 217
    95455 ÷ 131072     		y = 0.728263854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.311004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97704989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728263854980469 × 2 - 1) × π
    -0.456527709960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43422409973246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97704989} λ = -0.97704989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43422409973246))-π/2
    2×atan(0.238300189483124)-π/2
    2×0.233937128051737-π/2
    0.467874256103474-1.57079632675     		φ = -1.10292207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97704989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10292207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.192780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45154 KachelY 95455 -0.97704989 -1.10292207 -55.980835 -63.192780
    Oben rechts KachelX + 1 45155 KachelY 95455 -0.97700195 -1.10292207 -55.978088 -63.192780
    Unten links KachelX 45154 KachelY + 1 95456 -0.97704989 -1.10294369 -55.980835 -63.194018
    Unten rechts KachelX + 1 45155 KachelY + 1 95456 -0.97700195 -1.10294369 -55.978088 -63.194018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10292207--1.10294369) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10292207--1.10294369) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97704989--0.97700195) × cos(-1.10292207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450990018328614 × 6371000     		do = 137.74396008054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97704989--0.97700195) × cos(-1.10294369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450970721746385 × 6371000     		du = 137.738066407633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10292207)-sin(-1.10294369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450990018328614-0.450970721746385)×R²
    abs(-0.97700195--0.97704989)×1.92965822293778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92965822293778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92965822293778e-05×40589641000000     		ar = 18972.587660766m²