Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45152 / 95456
↖ ↑ ↗
← S 63.194018°
W 55.986328°		 ← 137.74 m → S 63.194018°
W 55.983581°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
S 63.195257°
W 55.986328°		 ← 137.73 m →
18 972 m²		 S 63.195257°
W 55.983581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344486236572266 y=0.728275299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344486236572266 × 217)
    floor (0.344486236572266 × 131072)
    floor (45152.5)     		tx = 45152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728275299072266 × 217)
    floor (0.728275299072266 × 131072)
    floor (95456.5)     		ty = 95456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45152 / 95456 ti = "17/45152/95456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45152/95456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45152 ÷ 217
    45152 ÷ 131072     		x = 0.344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95456 ÷ 217
    95456 ÷ 131072     		y = 0.728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97714576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97714576} λ = -0.97714576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43427203663208))-π/2
    2×atan(0.238288766384658)-π/2
    2×0.233926318751373-π/2
    0.467852637502747-1.57079632675     		φ = -1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97714576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45152 KachelY 95456 -0.97714576 -1.10294369 -55.986328 -63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 45153 KachelY 95456 -0.97709782 -1.10294369 -55.983581 -63.194018
    Unten links KachelX 45152 KachelY + 1 95457 -0.97714576 -1.10296531 -55.986328 -63.195257
    Unten rechts KachelX + 1 45153 KachelY + 1 95457 -0.97709782 -1.10296531 -55.983581 -63.195257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10294369--1.10296531) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10294369--1.10296531) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97714576--0.97709782) × cos(-1.10294369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 137.738066407633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97714576--0.97709782) × cos(-1.10296531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450951424953361 × 6371000     		du = 137.732172670344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10294369)-sin(-1.10296531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.450951424953361)×R²
    abs(-0.97709782--0.97714576)×1.92967930240373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92967930240373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92967930240373e-05×40589641000000     		ar = 18971.7758560231m²