Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4515 / 4922
↖ ↑ ↗
← S 34.089061°
E 18.413086°		 ← 4 046.83 m → S 34.089061°
E 18.457032°		 →
↑
4 045.97 m
↓
↑
4 045.97 m
↓
S 34.125448°
E 18.413086°		 ← 4 045.09 m →
16 369 839 m²		 S 34.125448°
E 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55120849609375 y=0.60089111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55120849609375 × 213)
    floor (0.55120849609375 × 8192)
    floor (4515.5)     		tx = 4515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60089111328125 × 213)
    floor (0.60089111328125 × 8192)
    floor (4922.5)     		ty = 4922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4515 / 4922 ti = "13/4515/4922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4515/4922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4515 ÷ 213
    4515 ÷ 8192     		x = 0.5511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4922 ÷ 213
    4922 ÷ 8192     		y = 0.600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5511474609375 × 2 - 1) × π
    0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.20166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.633534065378662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32136898} λ = 0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633534065378662))-π/2
    2×atan(0.530712908781535)-π/2
    2×0.48791498396704-π/2
    0.975829967934081-1.57079632675     		φ = -0.59496636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59496636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.089061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4515 KachelY 4922 0.32136898 -0.59496636 18.413086 -34.089061
    Oben rechts KachelX + 1 4516 KachelY 4922 0.32213597 -0.59496636 18.457032 -34.089061
    Unten links KachelX 4515 KachelY + 1 4923 0.32136898 -0.59560142 18.413086 -34.125448
    Unten rechts KachelX + 1 4516 KachelY + 1 4923 0.32213597 -0.59560142 18.457032 -34.125448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59496636--0.59560142) × R
    0.000635060000000021 × 6371000     		dl = 4045.96726000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59496636--0.59560142) × R
    0.000635060000000021 × 6371000     		dr = 4045.96726000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32136898-0.32213597) × cos(-0.59496636) × R
    0.000766989999999967 × 0.828167353885501 × 6371000     		do = 4046.83421775838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32136898-0.32213597) × cos(-0.59560142) × R
    0.000766989999999967 × 0.827811247911639 × 6371000     		du = 4045.09410830658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59496636)-sin(-0.59560142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828167353885501-0.827811247911639)×R²
    abs(0.32213597-0.32136898)×0.000356105973862375×R²
    0.000766989999999967×0.000356105973862375×6371000²
    0.000766989999999967×0.000356105973862375×40589641000000     		ar = 16369839.0889286m²