Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4515 / 13161
↖ ↑ ↗
← S 73.080240°
W 80.793457°		 ← 711.07 m → S 73.080240°
W 80.771484°		 →
↑
710.94 m
↓
↑
710.94 m
↓
S 73.086633°
W 80.793457°		 ← 710.81 m →
505 437 m²		 S 73.086633°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275604248046875 y=0.803314208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275604248046875 × 214)
    floor (0.275604248046875 × 16384)
    floor (4515.5)     		tx = 4515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803314208984375 × 214)
    floor (0.803314208984375 × 16384)
    floor (13161.5)     		ty = 13161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4515 / 13161 ti = "14/4515/13161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4515/13161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4515 ÷ 214
    4515 ÷ 16384     		x = 0.27557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13161 ÷ 214
    13161 ÷ 16384     		y = 0.80328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.4488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41011184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41011184} λ = -1.41011184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90558763369647))-π/2
    2×atan(0.148735215112729)-π/2
    2×0.147652765255071-π/2
    0.295305530510141-1.57079632675     		φ = -1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41011184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.793457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4515 KachelY 13161 -1.41011184 -1.27549080 -80.793457 -73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 4516 KachelY 13161 -1.40972834 -1.27549080 -80.771484 -73.080240
    Unten links KachelX 4515 KachelY + 1 13162 -1.41011184 -1.27560239 -80.793457 -73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 4516 KachelY + 1 13162 -1.40972834 -1.27560239 -80.771484 -73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27549080--1.27560239) × R
    0.000111589999999939 × 6371000     		dl = 710.939889999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27549080--1.27560239) × R
    0.000111589999999939 × 6371000     		dr = 710.939889999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41011184--1.40972834) × cos(-1.27549080) × R
    0.00038349999999987 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 711.072632142023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41011184--1.40972834) × cos(-1.27560239) × R
    0.00038349999999987 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 710.811784197693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27549080)-sin(-1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.290925403795733)×R²
    abs(-1.40972834--1.41011184)×0.000106761445463455×R²
    0.00038349999999987×0.000106761445463455×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106761445463455×40589641000000     		ar = 505437.175797308m²