Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45149 / 77851
↖ ↑ ↗
← S 32.015063°
W 55.994568°		 ← 258.92 m → S 32.015063°
W 55.991822°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.017392°
W 55.994568°		 ← 258.91 m →
67 038 m²		 S 32.017392°
W 55.991822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344463348388672 y=0.593959808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344463348388672 × 217)
    floor (0.344463348388672 × 131072)
    floor (45149.5)     		tx = 45149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593959808349609 × 217)
    floor (0.593959808349609 × 131072)
    floor (77851.5)     		ty = 77851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45149 / 77851 ti = "17/45149/77851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45149/77851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45149 ÷ 217
    45149 ÷ 131072     		x = 0.344459533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77851 ÷ 217
    77851 ÷ 131072     		y = 0.593955993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344459533691406 × 2 - 1) × π
    -0.311080932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97728957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593955993652344 × 2 - 1) × π
    -0.187911987304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.590342918820992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97728957} λ = -0.97728957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590342918820992))-π/2
    2×atan(0.55413722806445)-π/2
    2×0.506014035546289-π/2
    1.01202807109258-1.57079632675     		φ = -0.55876826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97728957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.994568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55876826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.015063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45149 KachelY 77851 -0.97728957 -0.55876826 -55.994568 -32.015063
    Oben rechts KachelX + 1 45150 KachelY 77851 -0.97724164 -0.55876826 -55.991822 -32.015063
    Unten links KachelX 45149 KachelY + 1 77852 -0.97728957 -0.55880890 -55.994568 -32.017392
    Unten rechts KachelX + 1 45150 KachelY + 1 77852 -0.97724164 -0.55880890 -55.991822 -32.017392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55876826--0.55880890) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55876826--0.55880890) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97728957--0.97724164) × cos(-0.55876826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847908751414773 × 6371000     		do = 258.919137586939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97728957--0.97724164) × cos(-0.55880890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847887205735677 × 6371000     		du = 258.912558354632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55876826)-sin(-0.55880890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847908751414773-0.847887205735677)×R²
    abs(-0.97724164--0.97728957)×2.15456790962909e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15456790962909e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15456790962909e-05×40589641000000     		ar = 67037.82854135m²