Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45144 / 95339
↖ ↑ ↗
← S 63.048736°
W 56.008301°		 ← 138.43 m → S 63.048736°
W 56.005554°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.049980°
W 56.008301°		 ← 138.42 m →
19 155 m²		 S 63.049980°
W 56.005554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344425201416016 y=0.727382659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344425201416016 × 217)
    floor (0.344425201416016 × 131072)
    floor (45144.5)     		tx = 45144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727382659912109 × 217)
    floor (0.727382659912109 × 131072)
    floor (95339.5)     		ty = 95339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45144 / 95339 ti = "17/45144/95339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45144/95339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45144 ÷ 217
    45144 ÷ 131072     		x = 0.34442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95339 ÷ 217
    95339 ÷ 131072     		y = 0.727378845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97752926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727378845214844 × 2 - 1) × π
    -0.454757690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.42866341937653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97752926} λ = -0.97752926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42866341937653))-π/2
    2×atan(0.239628991763959)-π/2
    2×0.235194149159256-π/2
    0.470388298318513-1.57079632675     		φ = -1.10040803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97752926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10040803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.048736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45144 KachelY 95339 -0.97752926 -1.10040803 -56.008301 -63.048736
    Oben rechts KachelX + 1 45145 KachelY 95339 -0.97748132 -1.10040803 -56.005554 -63.048736
    Unten links KachelX 45144 KachelY + 1 95340 -0.97752926 -1.10042975 -56.008301 -63.049980
    Unten rechts KachelX + 1 45145 KachelY + 1 95340 -0.97748132 -1.10042975 -56.005554 -63.049980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10040803--1.10042975) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10040803--1.10042975) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97752926--0.97748132) × cos(-1.10040803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453232444337278 × 6371000     		do = 138.428854703631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97752926--0.97748132) × cos(-1.10042975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453213083188167 × 6371000     		du = 138.422941310337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10040803)-sin(-1.10042975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453232444337278-0.453213083188167)×R²
    abs(-0.97748132--0.97752926)×1.93611491111079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93611491111079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93611491111079e-05×40589641000000     		ar = 19155.1155262318m²